Redigerer Lorentz-kraft (avsnitt)

==Partikkeldynamikk==
[[Fil:Lorentz force.svg|thumb|280px|En ladning ''q'' med hastighet '''v''' vil avbøyes oppover når den er negativ og nedover når den er positiv i et magnetfelt '''B''' som kommer ut av papirplanet.]]

Når Lorentz-kraften virker på en partikkel med hastighet '''v''', vil den utføre et [[arbeid]] som er proporsjonal med '''v'''&sdot;'''F'''. Da den magnetiske delen '''v'''&thinsp;&times;&thinsp;'''B''' av kraften står [[vinkelrett]] på hastigheten, vil denne kraften derfor ikke bevirke noe arbeid slik at partikkelens energi forblir konstant. 

Mer formelt følger det fra [[Newtons lover|Newtons andre lov]]. Så lenge partikkelen med masse ''m'' beveger seg ikke-relativistisk, sier den at {{nowrap|''md''&thinsp;'''v'''/''dt'' {{=}} '''F'''}}. Multipliseres denne ligningen med '''v''', blir dermed

: <math>  m\mathbf{v}\cdot{d\mathbf{v}\over dt} = {d\over dt}\Big({1\over 2}mv^2\Big) = q\mathbf{v}\cdot\mathbf{E} </math>

Hvis det elektriske feltet '''E''' = 0, er derfor den [[kinetisk energi|kinetiske energien]] ''K'' = ''mv''<sup>2</sup>/2&thinsp; til partikkelen konstant. Men det forutsetter at det magnetiske feltet '''B''' ikke varierer med tiden. Hvis ikke, vil det skape et elektriske felt som en konsekvens av [[Faradays induksjonslov]] {{nowrap|'''&nabla;'''&thinsp;&times;&thinsp;'''E''' {{=}} - &part;'''B'''/&part;''t''.}}

Et konstant, elektrisk felt kan uttrykkes ved et [[elektrisk potensial]] som '''E''' = - '''&nabla;'''&thinsp;&Phi;. Da man har den matematiske sammenhengen {{nowrap|'''v'''&sdot;'''&nabla;'''&thinsp;&Phi; {{=}} ''d''&thinsp;&Phi;/''dt''}}, betyr det at

: <math>  {d\over dt}\Big({1\over 2}mv^2 + q\Phi\Big) = 0  </math>

Den totale energien til partikkelen er derfor bevart i dette mer generelle tilfellet med elektriske og magnetiske felt som ikke forandrer seg med tiden.

===Syklotronbevegelse===
[[Fil:Lorentz force - mural Leiden 1, 2016.jpg|thumb|300px|left|Illustrasjon på en husvegg i [[Leiden]] av partikkelbevegelse forårsaket av Lorentz-kraften.]]
I et konstant, magnetisk felt er bevegelsen til partikkelen gitt ved ligningen

: <math> m{d\mathbf{v}\over dt} = q\mathbf{v}\times\mathbf{B}  </math>

Da Lorentz-kraften virker normalt på retningen til '''B'''-feltet som kan tas å være langs ''z''-aksen, vil komponenten av hastigheten '''v''' langs denne retningen forbli uforandret. Derimot vil de to transverse komponentene {{nowrap|'''v'''<sub>''T''</sub> {{=}} (''v<sub>x</sub>'',''v<sub>y</sub>'')}} forandre retning på en måte som følger fra

: <math> {d\mathbf{v}_T\over dt} = \boldsymbol{\omega}\times\mathbf{v}_T  </math>

hvor vektoren

: <math> \boldsymbol{\omega} = -{q\over m}\mathbf{B}  </math>

er konstant. Denne sammenhengen viser at hastigheten '''v'''<sub>''T''</sub>&thinsp; roterer om magnetfeltet '''B''' med '''syklotronfrekvensen''' ''&omega;'' = |'''''&omega;'''''| = ''qB''/''m''. Dette er prinsippet som benyttes i [[syklotron]]en og i andre [[partikkelakselerator]]er. 

Under denne rotasjonen forblir størrelsen av hastigheten den samme, bare dens retning forandres. Det kan sees mer direkte ved å innføre partikkelens posisjon '''r'''. Da kan dens hastighet skrives som '''v'''<sub>''T''</sub> = ''d''&thinsp;'''r'''/''dt''. Bevegelsesligningen lar seg dermed direkte integereres og gir

: <math>  \mathbf{v}_T = \boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}  </math>

Hastigheten står derfor alltid [[vinkelrett|normalt]] på posisjonsvektoren, noe som viser at partikkelen beveger seg i en sirkel med [[vinkelfrekvens]] lik med ''&omega;''. Radius ''r'' til denne sirkelbevegelsen blir ofte omtalt som '''gyroradius'''. I et magnetfelt med en gitt størrelse bestemmer den energien til partikkelen da denne er proporsjonal med kvadratet av hastigheten.

===Kartesisk beskrivelse===

Ved å skrive ut bevegelsesligningene for de to kartesiske hastighetskomponentene ''v<sub>x</sub>''&thinsp; og ''v<sub>y</sub>'', fremkommer de to første ordens [[differensialligning]]ene

: <math> {dv_x\over dt} = \omega v_y, \;\;\; {dv_y\over dt} =  - \omega v_x </math>

Etter å ha tatt den tidsderiverte av den første ligningen hvor så den siste blir satt inn, står man igjen med 

: <math> {d^2v_x\over dt^2} + \omega^2 v_x = 0 </math>.

som er ''svingeligningen'' for en [[harmonisk oscillator]]. Da den er av andre orden, vil dens løsning inneholde to integrasjonskonstanter. De kan man for eksempel fastsette ved å anta at partikkelen krysser ''x''-aksen ved tiden ''t'' = 0 med hastigheten ''v<sub>T</sub>''.  Den betingelsen gir at {{nowrap|''v<sub>x</sub>'' {{=}} ''v<sub>T</sub>&thinsp;''&thinsp;sin''&omega;t''&thinsp;}} som igjen medfører at {{nowrap|''v<sub>y</sub>'' {{=}} ''v<sub>T</sub>&thinsp;''&thinsp;cos''&omega;t''}}. Dermed er også kravet {{nowrap|''v<sub>x</sub>''<sup>2</sup>  + ''v<sub>y</sub>''<sup>2</sup> {{=}} ''v<sub>T</sub>''<sup>2</sup>&thinsp;}} oppfylt. Begge hastighetskomponentene varierer derfor harmonisk med tiden med en periode gitt ved syklotronfrekvensen som {{nowrap|''T'' {{=}} 2''&pi;''&thinsp;/''&omega;''}}. Tilsammen beskriver de bevegelsen til partikkelen i en sirkulær bane normalt på magnetfeltet.