Redigerer Ligning (matematikk) (avsnitt)

== Løsning av ligninger ==
Løsning av en ligning med én eller flere ukjente kan formelt skrives på forma

: <math>f(x) = 0 \, </math>

I tilfellet av flere ukjente vil ''x'' være definert som en [[Vektor (matematikk)|vektor]]. Også ''f'' kan oppfattes som en vektor, dersom en har et ligningssystem med flere ligninger. Et system av ligninger med like mange ukjente som ligninger kalles ofte for ''et simultant sett av ligninger'', fordi alle ligningene må løses simultant.

I praktisk regning og også i teoretisk matematikk krever en ofte at løsningen skal være av en bestemt type, eller mer presist: være inneholdt i en bestemt [[mengde]]. Kravet kan for eksempel være at løsningen skal være et reelt tall eller et reelt, positivt tall. I en såkalt [[diofantisk ligning]] krever en for eksempel at løsningen skal være et helt tall. Dersom en ønsker å presisere mengden der løsningen skal finnes, skriver en gjerne problemet som

: <math>f(x) = 0 \qquad  x \in V \, </math>

Om det eksisterer en eller flere røtter i ligningen vil avhenge av definisjonen av mengden ''V''.

=== Løsningsmengde og løsningsrom ===
Mengden av løsninger til en gitt ligning kaller en for ''løsningsmengden'' til ligningen. Ligningen

: <math>x^2 = 1 \, </math>

har for eksempel løsningsmengden {-1,1}.

Dersom ligningen er [[linearitet|lineær]], så vil summen av to løsninger også være en løsning for ligningen. Løsningsmengden er da et [[vektorrom]] og kalles ''løsningsrommet''.

=== Lukket form for løsningen ===
Dersom en er i stand til å finne løsningen av en ligning og uttrykke denne ved hjelp av et endelig antall ledd av velkjente [[funksjon (matematikk)|funksjoner]], så sier en at ligningen har en ''analytisk løsning'' eller også en løsning på ''lukket form''.<ref>{{kilde www | url=http://mathworld.wolfram.com/Analytic.html | tittel=Analytic | utgiver=MathWorld | besøksdato = 29. mars 2018 | forfatter=Weisstein, Eric W.}}</ref>

Studiet av ligninger og jakten på løsninger har i mange tilfeller ført til definisjon av nye funksjoner, slik at en har fått utvidet oppfatningen av hva en mener med velkjente funksjoner.

=== Eksistens og entydighet ===
Mange matematiske teorem inneholder utsagn om eksistens og entydighet av løsningen til en ligning, Selv om en ikke kan finne løsningen på lukket form kan en likevel i mange tilfeller vise hva som er tilstrekkelige vilkår for at en løsning eksisterer.

En løsning til en ligning er ''entydig'' viss og bare viss det eksisterer kun én løsning til ligningen.

Eksistens-og-entydighetsteorem er spesielt viktige for differensialligninger.

=== Løsningsmetoder ===
Det eksisterer svært mange løsningsmetoder for ligninger, og en komplett løsning vil ofte involvere en rekke forskjellige teknikker. En presis beskrivelse av stegene som skal til for å løse en ligning eller et annet problem kalles en [[algoritme]].

En [[iterasjon (matematikk) | iterativ]] løsningsmetode lager en [[følge]] av løsningsforslag som suksessivt utgjør en bedre og bedre tilnærming til den eksakte løsningen. Hver iterasjon bruker de foregående til å lage en bedre tilnærming, og iterative metoder trenger et første gjett på løsningen for å komme i gang. En [[konvergens|konvergent]] iterativ metode vil etter uendelig mange iterasjoner kunne gi den eksakte løsningen. I noen tilfeller vil iterasjonen bare gi den «best mulig» tilnærmede løsningen, i den mengden der en søker etter løsningen. [[Fikspunkt-iterasjon]] og [[Newtons metode|Newton-Raphsons metode]] er eksempel på iterative metoder.

En løsningsmetode som ikke er iterativ kalles en ''direkte metode''. Direkte metoder kan brukes for å finne både eksakte og tilnærmede løsninger. [[Rayleigh-Ritz]]’ metode er et eksempel på en direkte tilnærmingsmetode.

Et første steg i en løsningsprosess vil ofte forsøke å omforme ligningen til en alternativ eller enklere form der løsningen er kjent, og mange kreative metoder er i bruk. ''Substitusjon'' er en teknikk der en variabel eller en annen del av ligningen blir skiftet ut med en ny variabel, for eksempel vil substitusjonen ''u'' = ''x''<sup>2</sup> overføre den følgende ligningen til en [[andregradsligning]] i ''u'' der løsningen er kjent:

: <math>x^4 + 2x^2 + 5 = 0 \, </math>

''Eliminasjon'' innebærer å gjennomføre operasjoner som fjerner en variabel eller en annen del av et ligningssett. I det følgende eksempelet vil summasjon av ligningene eliminere den ene ukjente ''y'' og gi en enkel ligning å løse for den andre ukjente ''x'':

: <math>\begin{alignat}{2}
2x + 2y &= 4 \\
3x - 2y &=11 \\
\end{alignat}
 </math>.

=== Inverse funksjoner ===
Løsningen av en ligning kan formelt skrives ved hjelp av definisjonen av en [[invers funksjon]]. Gitt problemet

: <math>f(x) = y \qquad  x \in V \, </math>

der ''y'' er en kjent størrelse. Dersom den inverse funksjonen til ''f'' eksisterer, så kan løsningen skrives som

: <math>x = f^{-1}(y)  \, </math>

Inversen vil eksistere dersom ''f'' er [[bijektiv]], og løsningen av ligningen er da entydig.