Redigerer Kvantisert dreieimpuls (avsnitt)

==Egenverdier==

I kvantemekanikken kan [[egenverdi]]ene til to operatorer bare bestemmes samtidig når de kommuterer med hverandre. Derfor kan kun  egenverdiene til én av dreieimpulsens komponenter beregnes. Men størrelsen av den totale dreieimpulsen gitt ved operatoren

: <math> \hat{\mathbf{L}}^2 = \hat{L}_x^2  + \hat{L}_y^2  + \hat{L}_z^2 </math>

kommuterer med alle komponentene,

: <math>\begin{align} \left[\hat{\mathbf{L}}^2, \hat{L}_b\right] &= \left[\hat{L}_a\hat{L}_a, \hat{L}_b\right] = \hat{L}_a \left[\hat{L}_a, \hat{L}_b\right]  + \left[\hat{L}_a, \hat{L}_b\right]\hat{L}_a \\  &=  i\hbar\,\varepsilon_{abc}( \hat{L}_a \hat{L}_c +  \hat{L}_c \hat{L}_a) = 0 \end{align} </math>

da leddet i parentes på høyre side er symmetrisk i sine to indekser. Den totale dreieimpulsen kan derfor bestemmes sammen med egenverdiene til én av dens komponenter. Denne velges vanligvis alltid å være <math> \hat{L}_z </math> langs en tenkt ''z''-akse.<ref name= Griffiths> D.J. Griffiths, ''Quantum Mechanics'', Pearson Education International, Essex (2005). ISBN  1-292-02408-9.</ref>

Hvis man nå kaller egenverdiene for disse to kommuterende operatorene for ''&lambda;'' og ''&mu;'', vil kvantiseringen bestå i å bestemme deres felles [[egenvektor]]er <math> |\lambda,\mu\rangle </math>, det vil si løse ligningene

: <math> \hat{\mathbf{L}}^2  |\lambda,\mu\rangle = \lambda |\lambda,\mu\rangle ,\quad \hat{L}_z  |\lambda,\mu\rangle = \mu  |\lambda,\mu\rangle </math>

Da operatoren <math>  \hat{L}_x^2 + \hat{L}_y^2 </math> alltid vil gi en verdi som er positiv eller null, må de to egenverdiene oppfylle betingelsen <math> \lambda \ge \mu^2. </math> De kan beregnes rent algebraisk ved å innføre et par [[stigeoperator]]er som ved kvantisering av en [[Kvantisert harmonisk oscillator|harmonisk oscillator]].
===Stigeoperatorer===

Istedenfor de to komponentene <math> \hat{L}_x </math> og <math> \hat{L}_y </math> er det hensiktsmessig å innføre lineærkombinasjonene

: <math> \hat{L}_\pm = \hat{L}_x \pm i \hat{L}_y </math>

Da er produktet

: <math>\begin{align} \hat{L}_+\hat{L}_- &=  \hat{L}_x^2 + \hat{L}_y^2 - i \left[\hat{L}_x, \hat{L}_y\right] \\ &=  \hat{\mathbf{L}}^2 -  \hat{L}_z^2 + \hbar \hat{L}_z\end{align} </math>

På samme måte blir

: <math> \hat{L}_-\hat{L}_+ =  \hat{\mathbf{L}}^2 -  \hat{L}_z^2 - \hbar \hat{L}_z </math>

som gir differansen

: <math>  \left[ \hat{L}_+, \hat{L}_-\right] = 2\hbar  \hat{L}_z </math>

Kommutatoren mellom <math>  \hat{L}_z </math> og de to andre komponentene er nå erstattet med

: <math> \left[ \hat{L}_z , \hat{L}_\pm \right] = \pm\hbar  \hat{L}_\pm </math>

Dette betyr at når <math>  \hat{L}_+ </math> virker på en egentilstand til <math>  \hat{L}_z, </math> vil dennes egenverdi forandres til

: <math> \begin{align} \hat{L}_z \hat{L}_+ |\lambda,\mu\rangle &= (\hat{L}_+ \hat{L}_z + \hbar \hat{L}_z) |\lambda,\mu\rangle \\ &= (\mu + \hbar) \hat{L}_+ |\lambda,\mu\rangle \end{align}</math>

Det er derfor naturlig å kalle <math>  \hat{L}_+ </math> for en «heveoperator» da den øker egenverdien til <math>  \hat{L}_z, </math>. På samme måte ser man at <math>  \hat{L}_- </math> virker som en «senkeoperator» da den reduserer denne egenverdien like mye.
Da disse forandringene er &pm;''ħ'', er det praktisk å måle størrelsen til komponentene av dreieimpulsen i enheter av denne konstanten.  Skriver man ''&mu;'' = ''ħm,'' vil ''m'' være et dimensjonløst [[kvantetall]].<ref name = Griffiths/> 

===Egenvektorer===
De to operatorene <math>  \hat{L}_\pm </math> er eksempel på [[stigeoperator]]er. Deres effekt på egentilstandene for dreieimpulsen kan  sammenfattes i egenskapene

: <math>  \hat{L}_\pm | \lambda,m \rangle = | \lambda,  m \pm 1 \rangle </math>

Men man kan ikke øke kvantetallet ''m&thinsp;'' for mye da man hele tiden må oppfylle betingelsen <math> \lambda \ge \hbar^2 m^2 .</math> Det må derfor finnes en spesiell, «høyeste tilstand» <math> |\lambda, j \rangle </math> definert ved at  <math> \hat{L}_+ |\lambda, j \rangle = 0 .</math> Anvendes her senkeoperatoren <math> \hat{L}_- </math> på denne, får man

: <math>\begin{align} \hat{L}_-\hat{L}_+ |\lambda, j \rangle &=  (\hat{\mathbf{L}}^2 -  \hat{L}_z^2 - \hbar \hat{L}_z ) |\lambda, j \rangle \\ &= (\lambda - \hbar^2 j^2 - \hbar^2 j) |\lambda, j \rangle = 0 \end{align} </math>

som dermed gir det viktige resultatet <math> \lambda = \hbar^2 j(j + 1) </math> for størrelsen av den totale dreieimpulsen.

Her kan verdien av ''j&thinsp;'' være et vilkårlig, positivt [[reelt tall]]. Men det kan bestemmes ved anvendelse av senkeoperatoren  <math>  \hat{L}_- </math>  på den høyeste tilstanden. Gjentas dette ''n&thinsp;'' ganger, vil man komme til en tilsvarende, «laveste tilstand» <math> |\lambda, j - n\rangle </math> som ikke kan senkes mer på grunn av det samme kravet som definerte den høyeste tilstanden. Da er <math> \hat{L}_- |\lambda, j - n\rangle = 0 </math> som betyr at

: <math>\begin{align} \hat{L}_+\hat{L}_- |\lambda, j - n\rangle &=  (\hat{\mathbf{L}}^2 -  \hat{L}_z^2 + \hbar \hat{L}_z ) |\lambda, j -n \rangle \\ &= (\lambda - \hbar^2 (j-n)^2 + \hbar^2 (j-n)) |\lambda, j -n \rangle = 0 \end{align} </math>

Benyttes her resultatet for egenverdien ''&lambda;&thinsp;'' uttrykt ved kvantetallet ''j'', finner man at

: <math> j(j+1) - (j-n)^2 + (j-n) = 0 </math>

Dets mulige verdier følger derfor fra 2''j''&thinsp;(''n'' + 1) = ''n''(''n'' + 1) eller 2''j'' = ''n'' hvor [[heltall]]et ''n'' = 0, 1, 2 og så videre. Kvantetallet som bestemmer størrelsen av dreieimpulsen, kan derfor kun anta verdiene ''j'' = 0, 1/2, 1, 3/2, 2 etc.

Egenvektorene til dreieimpulsoperatoren kan nå karakteriseres ved de to kvantetallene ''j&thinsp;'' og ''m''. Dette siste, «magnetiske kvantetallet» kan anta verdiene ''m'' = (''j'', ''j'' - 1, ''j'' - 2, ..., -''j'' + 1, -''j''&thinsp;) og kan tenkes å beskrive de  2''j'' + 1 forskjellige retninger som dreieimpulsvektoren kan ha i et halv-klassisk bilde av denne operatoren.<ref name = Liboff/>

Resultatet av kvantisering kan nå summeres opp ved

: <math> \begin{align} \hat{\mathbf{L}}^2 |j,m\rangle &= \hbar^2 j(j+1) |j,m\rangle \\ \hat{L}_z |j,m\rangle &= \hbar m |j,m\rangle  \end{align}</math>

som gjelder for både heltallige og halvtallige verdier av kvantetallet ''j''.

===Normering===

Praktiske beregninger med kvantisert dreieimpuls er enklere når egenvektorene har en bestemt normering. Da de står [[vinkelrett|ortogonalt]] på hverandre i [[Hilbert-rom]]met, velges denne vanligvis å være

: <math> \langle j,m |j',m' \rangle = \delta_{jj'}\delta_{mm'} </math>

Vektorene sies da å være ''ortonormerte''. Virkningen av en heveoperator kan skrives som <math> \hat{L}_+ |j,m \rangle = N_{jm}|j, m + 1 \rangle </math> hvor koeffisienten <math> N_{jm} </math> sørger for at normeringen blir opprettholdt under operasjonen. Den kan bestemmes fra normeringsbetingelsen som betyr at <math> |N_{jm}|^2 = \langle j, m |\hat{L}_-\hat{L}_+ |j, m \rangle .</math> Ved å benytte det tidligere resultatet for produktet av de to stigeoperatorene, er dens absolutte størrelse gitt. Sammen med en  tilsvarende betraktning rundt virkningen av en senkeoperator, har man dermed at

: <math> \hat{L}_\pm |j, m\rangle = \hbar\sqrt{j(j + 1) - m(m \pm 1)} \,|j, m \pm 1 \rangle </math>

når man velger det positive fortegnet for kvadratroten.

Kombinert med den tilsvarende virkningen av <math> \hat{L}_z </math> på den samme egenvektoren, kan man nå representere disse tre operatorene ved [[matrise]]r med komponenter

: <math> (L_a)_{mm'} = \langle j,m |\hat{L}_a |j,m' \rangle </math>

Hver slik matrise vil ha en dimensjon (2''j'' + 1)&thinsp;&times;&thinsp;(2''j'' + 1). I det enkleste tilfellet er ''j'' = 1/2 hvor de kan uttrykkes ved 2&thinsp;&times;&thinsp;2 [[Pauli-matrise]]r. For ''j'' = 1 finner man

: <math>  {L}_x = {\hbar\over \sqrt{2}}  \begin{pmatrix} 0 & 1& 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix},\quad  {L}_y = {\hbar\over \sqrt{2}}  \begin{pmatrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \end{pmatrix}, </math>

mens <math> L_z </math> er en diagonal matrise med egenverdiene +''ħ'', 0, -''ħ'' langs denne. I dette spesielle tilfellet kan de samme matrisene finnes fra klassiske rotasjoner av en vanlig vektor i det tredimensjonale rommet.<ref name = Abers> E.S. Abers, ''Quantum Mechanics'', Pearson Education, New Jersey (2004). ISBN 0-13-146100-1. </ref>