Redigerer Kvadrattall (avsnitt)

==Sammenheng med trekanttall==
[[Fil:Square number 25 as sum of two triangular numbers.svg|thumb|180px|Summen av de to påfølgende [[trekanttall]]ene 10 og 15 gir kvadrattallet 25.]]

Hvert kvadrattall kan skrives som summen av et [[trekanttall]] og det foregående trekanttallet, det vil si

: <math> K_n =  \Delta_n + \Delta_{n-1} </math>

Det følger lett fra den algebraiske sammenhengen

: <math> K_n = {1\over 2}n(n+1) + {1\over 2}n(n-1) = n^2 </math>

og kan  geometrisk illustreres ved å arrangere kulene i de to trekantene med sidekanter ''n'' og ''n'' - 1  til å utgjøre et [[kvadrat]] med sidekant ''n''.

Trekanttallene kan også benyttes til å utlede formelen for summen av de ''n'' første kvadrattallene. Den er 

: <math>\begin{align} S_2(n) &=  1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 =  {1\over 3}n^3 + {1\over 2}n^2 + {1\over 6}n \\
&= {1\over 6} n(n+1)(2n+1)  \end{align}</math>

Denne formelen for summen er samtidig det ''n''-te,  [[pyramidetall]]et basert på en [[pyramide]] med kvadratisk grunnflate. Det kan bevises ved [[induksjon (matematikk)|induksjon]] ved at

: <math> S_2(n) = S_2(n-1) + n^2 = {1\over 6} n(n-1)(2n-1) + n^2 </math>

Da formelen er riktig for ''n'' = 2, vil den derfor være riktig for alle større verdier av ''n''. 

Geometrisk tilsvarer denne rekursjonsrelasjonen at summen ''S<sub>n</sub>''&thinsp; representerer antall kuler i en slik pyramide bestående av ''n'' lag med kvadrat hvor hvert kvadrat har sidelengder fra 1 til ''n''. Den kan bygges opp fra en pyramide med  ''S''<sub>''n'' - 1</sub>&thinsp; kuler ved å tilføye en ny, kvadratisk grunnflate med ''n''<sup>&thinsp;2</sup> kuler.