Redigerer Koordinatsystem (avsnitt)

===Skjevvinklet koordinatsystem===
Enhver lineært uavhengig kombinasjon av de gitte, kartesiske basisvektorene '''e'''<sub>''m''</sub> kan benyttes til å lage et nytt sett med basisvektorer '''e'''<sub>''&mu;''</sub>. Slike lineærkombinasjoner kan sammenfattes i ligningen

: <math>  \mathbf{e}_\mu =  \mathbf{e}_m A^m_{\;\;\mu} </math>

når man benytter [[Einsteins summekonvensjon]] og summerer over like indekser. Her er den greske indeksen ''&mu;'' = 1,2,3,...,''D'' i det generelle tilfellet når rommet har ''D'' dimensjoner. Da vil  koeffisientene {{nowrap|''A<sup>m</sup><sub>&mu;</sub>''}}&thinsp; utgjøre en ''D&times;D'' [[matrise]] ''A''. Den vil garantert ha en inverse ''A''<sup>-1</sup> med elementer {{nowrap|(''A''<sup>-1</sup>)''<sup>&mu;</sup><sub>m</sub>''&thinsp;}} når denne nye basisen består av lineært uavhengige vektorer. Det betyr at man også har den inverse sammenhengen

: <math>  \mathbf{e}_m =  \mathbf{e}_\mu (A^{-1})^\mu_{\;\; m} </math>

mellom de gamle og nye basisvektorene. Settes dette inn i uttrykket for posisjonsvektoren, kan den nå skrives som  {{nowrap|'''r''' {{=}} ''x<sup>&mu;</sup>''&thinsp;'''e'''<sub>''&mu;''</sub>}} hvor nå 

: <math> x^\mu = (A^{-1})^\mu_{\;\; m}x^m </math>

sies å være koordinatene i dette nye koordinatsystemet. Omvendt gjelder derfor også sammenhengene {{nowrap|''x<sup>m</sup> {{=}} A<sup>m</sup><sub>&mu;</sub>&thinsp;x<sup>&mu;</sup>''.}} Varierer man her bare en av de skjeve koordinatene ''x<sup>&mu;</sup>'', vil ligningene beskrive en rett koordinatlinje i rommet. Da de nye basisvektorene er gitt som {{nowrap|'''e'''<sub>''&mu;''</sub> {{=}} &part;'''r'''/&part;''x<sup>&mu;</sup>'',}} er de [[tangent (matematikk)|tangentvektorer]] til disse koordinatlinjene.

Det transformerte koordinatsystemet er vanligvis ikke lenger rettvinklet. Matematisk kommer det frem fra produktet

: <math> \mathbf{e}_\mu\cdot \mathbf{e}_\nu =  \mathbf{e}_m\cdot\mathbf{e}_n A^m_{\;\;\mu} A^n_{\;\;\nu} = A^m_{\;\;\mu} A^m_{\;\;\nu}</math>

hvor man igjen skal summere over den latinske indeksen ''m''. Alle disse produktene mellom basisvektorene inneholder informasjon om deres lengder og vinklene mellom dem. Dette er ikke noe annet en [[metrisk tensor|metrikken]] til rommet uttrykt i de nye koordinatene. Den betegnes vanligvis ved en ''D&times;D'' [[symmetrisk matrise]] med elementer {{nowrap|''g<sub>&mu;&nu;</sub>'' {{=}} '''e'''<sub>''&mu;''</sub>&sdot;'''e'''<sub>''&nu;''</sub>.}} I det kartesiske koordinatsystemet er metrikken gitt ved Kronecker-deltaet {{nowrap|''&delta;<sub>mn</sub>'' {{=}} '''e'''<sub>''m''</sub>&sdot;'''e'''<sub>''n''</sub>.}} Avstanden &Delta;''s&thinsp;'' mellom to punkt '''r''' og '''r''' + &Delta;'''r''' uttrykt ved de skjevvinklete koordinatene er dermed gitt ved

: <math> \Delta s^2 = \Delta\mathbf{r}\cdot\Delta\mathbf{r} = \mathbf{e}_\mu\Delta x^\mu\cdot \mathbf{e}_\nu\Delta x^\nu = g_{\mu\nu}\Delta x^\mu \Delta x^\nu  </math>

I alle rettlinjete koordinatsystem er metrikken {{nowrap|''g<sub>&mu;&nu;</sub>''}} den samme i hele rommet og derfor med komponenter som alle har konstante verdier.