Redigerer Kontinuitetsligning (avsnitt)

==Punktpartikler==

Bevarte størrelser i fysikken kan vanligvis forbindes med egenskaper til enkelte partikler. I en kontinuerlig fordeling kan de ble beskrevet som '''punktpartikler''' uten utstrekning og med den bevarte egenskapen konsentrert i det punkt hvor partikkelen befinner seg. Dette kan matematisk beskrives ved [[Diracs deltafunksjon]].<ref name = Lamb>H. Lamb, ''Hydrodynamics'', Dover Publications, New York (1991). ISBN 978-0-486-60256-1.</ref> For eksempel, en samling  partikler hvor hver har ladning ''q<sub>a</sub>&thinsp;'' og beveger seg langs banene '''x'''<sub>''a''</sub>(''t''), gir opphav til ladningstettheten

: <math> \rho(\mathbf{x},t)  = \sum_a q_a \delta(\mathbf{x} - \mathbf{x}_a(t)) </math>

og strømtettheten

: <math> \mathbf{J}(\mathbf{x},t)  = \sum_a q_a \mathbf{v}_a \delta(\mathbf{x} - \mathbf{x}_a(t)) </math>

hvor '''v'''<sub>''a''</sub> = ''d''&thinsp;'''x'''<sub>''a''</sub>&thinsp;/''dt''&thinsp; er hastigheten til partikkel med merkelapp ''a''. Da dette er en klassisk beskrivelse hvor partiklene hverken kan spontant forsvinne eller oppstå, må deres totale ladning

: <math> Q = \sum_a q_a </math>

være konstant under deres bevegelse. Dette kommer igjen til uttrykk ved at kontinuitetsligningen er oppfylt. Det følger fra

: <math> \begin{align} \boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{J} &=  \sum_a q_a \nabla_k \delta(\mathbf{x} - \mathbf{x}_a(t)) {dx^k_a\over dt} = - \sum_a q_a {\partial\over\partial x^k_a}  \delta(\mathbf{x} - \mathbf{x}_a(t)) {dx^k_a\over dt}\\ 
&=  - \sum_a q_a {\partial\over\partial t}\delta(\mathbf{x} - \mathbf{x}_a(t)) = - {\partial\rho\over\partial t} \end{align} </math>

etter å ha brukt [[Einsteins summekonvensjon]] i den romlige derivasjonen og tatt tidsderivasjonen utenfor summetegnet. Dette resultatet er uavhengig av hvilken type ladning som er bevart. Hvis man her hadde satt ''q<sub>a</sub>'' = 1, ville  ''&rho;''&thinsp; ha gitt antallstettheten av partikler, det vil si antall partikler per volumenhet og ''Q''&thinsp; ville vært det totale antall partikler i systemet.

===Hastighetsfelt===

Når tettheten av partikler er veldig stor, kan man erstatte de individuelle hastighetene '''v'''<sub>''a''</sub>(''t'')&thinsp; med funksjonen '''v'''('''x'''<sub>''a''</sub>,''t'')&thinsp; etter å ha innført et [[felt (fysikk)|hastighetsfelt]] '''v'''('''x''',''t'')&thinsp; som angir hastigheten til en partikkel som befinner seg i posisjon '''x'''&thinsp; ved tiden ''t''. Strømtettheten kan dermed forenkles til

: <math> \begin{align} \mathbf{J}(\mathbf{x},t)  &= \sum_a q_a \delta(\mathbf{x} - \mathbf{x}_a(t))\mathbf{v}(\mathbf{x}_a,t)  = \sum_a q_a \delta(\mathbf{x} - \mathbf{x}_a(t))\mathbf{v}(\mathbf{x},t) \\ &=    \rho(\mathbf{x},t)\mathbf{v}(\mathbf{x},t)  \end{align}</math>

Hadde dette vært en [[elektrisk strøm]]tetthet i en [[elektrisk leder|leder]], ville hastighetsfeltet være gitt ved «driftshastigheten» til ladningsbærerne.