Redigerer Hyperbel (avsnitt)

== Polarform ==
[[Fil:Hyperbel def norsk.png|thumb|400px|Terminologi knyttet til hyperbelen]]
[[Fil:Hyperbel params.png|thumb|400px|Parametre for en hyperbel]]
Gitt en styrelinje og et brennpunkt ''F'', og la avstanden mellom disse være <math>h</math>.  
For et vilkårlig punkt på hyperbelgrenen ''P'' er avstanden til styrelinjen alltid proporsjonal med avstanden til brennpunktet:

:<math>|FP| = e|SP| </math>

Proporsjonalitetsfaktoren <math>e</math> kalles ''eksentrisiteten'', og for en hyperbel er denne større enn 1. 
Linjen normalt på styrelinjen gjennom brennpunktet kalles ''aksen'' til hyperbelen.  
I [[polarkoordinatsystem|polarkoordinater]] <math>(r, \theta)</math>, med polen definert i brennpunktet og akse langs hyperbelaksen, kan dette skrives som

:<math>
\begin{alignat}{2}
r &= e(h + r \cos \theta) \\
&= \frac{eh}{1 - e\cos \theta}  \qquad  |\theta| < \theta^\ast
\end{alignat}
</math>

Vinkelen <math>\theta^\ast</math> er definert ved <math>e \cos \theta^\ast = 1</math>.  Dette er lik vinkelen en asymptote danner med hyperbelaksen.  
Hyperbelgrenen skjærer <math>x</math>-aksen i ett ''toppunkt'', for <math>\theta = 180^\circ</math>.  Avstanden fra dette toppunktene til brennpunktet ''F'' er

:<math>
\begin{alignat}{2}
g = r(\theta = 180^\circ) = \frac{eh}{1+e}  \\
\end{alignat}
</math>

Korden mellom to punkt på hyperbelen, parallelt med styrelinjen og gjennom brennpunktet, kalles ''latus rectum''.  Lengden <math>l</math> av denne er

:<math>l = 2 r(\theta = 90^\circ) = 2eh</math>

Halve korden kalles [[semi latus rectum|semi-latus rectum]], med lengde <math>p = l/2 = eh</math>.

=== Dobbelt sett av brennpunkt og styrelinje ===
[[Fil:Hyperbelgren med to brennpunkt og styrelinjer.png|thumb|Hyperbelgren med to sett av brennpunkt og styrelinjer]]
Polarformen av hyperbelen kan brukes til å vise at kurven har et alternativt sett av brennpunkt og styrelinje. La et valgt brennpunkt være <math>F_1</math> i en avstand <math>h</math>
fra styrelinjen <math>L_1</math>, og la <math>e</math> være en valgt eksentrisitet.  Definer et punkt <math>F_2</math> på hyperbelaksen, i avstanden <math>s</math> fra brennpunktet <math>F_1</math>, der

:<math>s = \frac{2e^2h}{e^2 - 1}  \qquad (A) </math>

Punktet <math>F_2</math> skal velges slik at styrelinjen ligger ''mellom'' punktene <math>F_1</math> og <math>F_2</math>.  En linje <math>L_2</math> legges parallelt med <math>L_1</math>, mellom
de to punktene <math>F_1</math> og <math>F_2</math>, i en avstand <math>h</math> fra <math>F_2</math>.  

La <math>P</math> være et vilkårlig punkt på hyperbelen, og la
<math>r_1</math> og <math>r_2</math> være avstandene fra punktet <math>P</math> til de to punktene <math>F_1</math> og <math>F_2</math>.  Linjestykkene <math>F_1P</math> og <math>F_2P</math> 
danner vinklene <math>\theta_1</math> og <math>\theta_2</math> med hyperbelaksen.  Fra den geometriske definisjonen er

:<math>r_1 = e(h + r_1\cos \theta_1)</math>

Fra [[Pythagoras’ læresetning#Consinussetningen|cosinussetningen]] er

:<math>
\begin{alignat}{2}
r_1^2 &= r_2^2 + s^2 - 2r_2 s \cos \theta_2 \\
r_2^2 &= r_1^2 + s^2 - 2r_1 s \cos ( \pi - \theta_1 ) = r_1^2 + s^2 + 2r_1 s \cos \theta_1 
\end{alignat}
</math>

Ved å kombinere disse to ligningene finner en

:<math>r_1 \cos \theta_1 = - r_2 \cos \theta_2 + \frac{r_2^2 - r_1^2}{s}  \qquad (B) </math>

Avstanden fra punktet <math>P</math> til hyperbelaksen gir ligningen

:<math>r_1 \sin \theta_1 = r_2 \sin \theta_2   \qquad  (C) </math>

Fra kvadratet av den geometriske definisjonen finner en

:<math>
r_1^2 = e^2(h^2 + 2h r_1\cos \theta_1 + r_1^2 \cos^2 \theta_1)  \qquad (D)
</math>

Kombinasjon av ligningene ''A''-''D'' gir relasjonen

:<math>r_2^2 = e^2(r_2\cos \theta_2 - h)^2</math>

Avstanden mellom de to punktene <math>F_2</math> og <math>P</math> er <math>r_2</math>, og størrelsen i parantesen på høyre side i ligningen over er avstanden fra linjen <math>F_2</math> til punktet <math>P</math>. 
Ligningen viser altå at disse to avstandene er proporsjonale, med samme proporsjonalitetskonstant <math>e</math> som det valgte brennpunktet <math>F_1</math> og styrelinjen <math>L_1</math>.  
Paret <math>F_2</math> og <math>L_2</math> er altså et alternativt sett av brennpunkt og styrelinje for hyperbelgrenen.  Tilsvarende vil begge to settene også være brennpunkt og styrelinjer for
en hyperbelgren som ligger symmetrisk om sentrum i hyperbelen, det vil si symmetrisk om midtpunktet mellom de to brennpunktene.

Avstanden fra sentrum og et brennpunkt er gitt ved lengden <math>s/2</math>.  

=== Effekt av eksentrisiteten === 
[[File:Hyperbel eksentrisitet.png|thumb|Hyperbler med felles brennpunkt, men varierende eksentrisitet]]
Når eksentrisiteten øker mot uendelig vil toppunktet i hyperbelgrenen nærme seg styrelinjen.  For en fast avstand mellom brennpunktet og styrelinjen vil latus rectum gå mot uendelig, det vil si at
hyperbelen vier seg mer og mer ut.

Når eksentrisiteten går mot 1, så vil toppunktet nærme seg brennpunktet.  Latus rectum avtar mot grenseverdien <math>h</math>, slik at hyperbelen klapper mer og mer sammen.  

=== Sammenheng mellom geometriske definisjoner ===

Polarformen kan brukes til å vise at de to geometriske definisjonene for hyperbelen er ekvivalente.  Gitt et vilkårlig punkt ''P'' på hyperbelen, og la avstanden fra dette punktet
til de to styrelinjene være henholdsvis <math>l_1</math> og <math>l_2</math>. Tilsvarende la <math>r_1</math> og <math>r_2</math> være avstanden fra punktet til de to brennpunktene.  
Fra definisjonen med brennpunkt og styrelinje følger det at

:<math>
\begin{alignat}{2}
 r_1 = e l_1 \\
 r_2 = e l_2
\end{alignat}
</math>

Siden <math>|l_1 - l_2|</math> er lengden mellom styrelinjene følger det direkte at differensen av avstandene fra brennpunktet er konstant:

:<math>|r_1 - r_2 | = e |l_1 - l_2|</math>