Redigerer Harmonisk oscillator (avsnitt)

==Matematisk beskrivelse==
[[Fil:harmonisk_bevaegelse.png|thumb|right|300px|Tidsforløpet av en harmonisk svingning beskriver en [[sinuskurve]] med en viss amplitude, periode og faseforskyvning.]]
La oss tenke oss en [[partikkel]] eller gjenstand med masse ''m'' som kan bevege seg uten [[friksjon]] i en retning under påvirkning av en kraft ''F''. Denne kan for eksempel skyldes en fjær. Strekkes denne et stykke ''x'' fra sin likevektsposisjon, vil den prøve å trekke massen tilbake til denne. I det enkleste tilfellet er kraften i fjæren beskrevet ved [[Hookes lov]] som sier at {{nowrap|''F {{=}} - kx''}} hvor ''k'' er fjærkonstanten. Minustegnet tilsvarer at kraften virker i retning mot likevektsposisjonen.<ref name="Lien">J.R. Lien og G. Løvhøiden, ''Generell fysikk for universiteter og høyskoler, Bind 1'', Universitetsforlaget, Oslo (2001). ISBN 9788215000053.</ref> Bevegelsen til massen er gitt ved [[Newtons andre lov]] som her betyr at

: <math>m\frac{d^2 x}{dt^2} = -kx </math>

Dette er en [[differensialligning]] av andre orden. Løsningen vil derfor i alminnelighet inneholde to konstanter som må bestemmes ut fra grensebetingelser. Ofte velges de å være posisjon og hastighet ved et gitt tidspunkt og kan uttrykkes ved en [[sinuskurve|amplitude]] ''A'' og fasefaktor ''&phi;''. Dermed kan den generelle løsningen skrives på formen

:<math> x = A\cos(\omega t - \phi) </math>

Settes dette inn i differensialligningen, finner man at

: <math> \omega = \sqrt{k\over m} </math>

som er [[vinkelfrekvens]]en. Den gir også  [[periode (fysikk)|periode]]n {{nowrap|''T {{=}} 1/f''&thinsp;}} til den sinusformete bevegelsen hvor den vanlige [[frekvens]]en {{nowrap|''f'' {{=}} ''&omega;''/2''&pi;''}}.  Oscillatoren svinger desto raskere når massen blir mindre og fjærkonstanten større.

Fasefaktoren forteller i hvilken posisjon den starter i og amplituden er maksimalt utslag. For en fjær som trekkes
og slippes ved tiden ''t = 0'', er &phi; = 0 og ''A'' er posisjonen den slippes fra. Hvis grensebetingelsene i stedet er at den starter i posisjon {{nowrap|''x'' {{=}} 0}}&thinsp; ved tiden {{nowrap|''t'' {{=}} 0}}, men med en hastighet {{nowrap|''dx/dt {{=}} v''}}, ville {{nowrap|''&phi;'' {{=}}   ''&pi;''&thinsp;/2}} og amplituden {{nowrap|''A {{=}} v/&omega;''}}.

===Energier===
[[Kinetisk energi|Den kinetiske energien]] til oscillatoren er

:<math> K = \frac{1}{2}m\dot{x}^2
= \frac{1}{2}kA^2\sin^2(\omega t+\phi)</math>

når man skriver hastigheten som <math> dx/dt =\dot{x} </math>. Tilsvarende er den [[potensiell energi|potensielle energien]]

:<math> V = \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}kA^2\cos^2(\omega t+\phi)</math>

Dermed er den totale, [[mekanisk energi|mekaniske energien]]

:<math> E = K + V = \frac{1}{2}kA^2 \, </math>

er konstant. Den avhenger av amplituden ''A'' og fjærkonstanten ''k'', men er uavhengig av massen til den oscillerende partikkelen. Under sin bevegelse svinger energien fra å være ren stillingsenergi i de to ytterpunktene og ren bevegelsesenergi i midtpunktet mellom disse.

===Løsning av bevegelsesligning===
[[Fil:Animación1.gif|thumb|280px|Oscillatoren svinger rundt likevektspunktet ''x'' = 0.]]
Differensialligningen som beskriver bevegelsen til oscillatoren, kan skrives som

: <math> \Big({d^2\over dt^2} + \omega^2\Big)x(t) = 0 </math>

Den vil i alminnelighet ha flere løsninger. Hvis ''x''<sub>1</sub>(''t''&thinsp;) er en løsning og ''x''<sub>2</sub>(''t''&thinsp;) er en annen løsning, så vil også summen (eller «superposisjonen»)
{{nowrap|''a&thinsp;x''<sub>1</sub>(''t''&thinsp;) + ''b&thinsp;x''<sub>2</sub>(''t''&thinsp;)}} være en løsning hvor ''a'' og ''b'' er vilkårlige konstanter. Ligningen sies derfor å være '''lineær''' med  ''x''<sub>1</sub>(''t''&thinsp;) og ''x''<sub>2</sub>(''t''&thinsp;) som [[differensialligning|delløsninger]].

Slike delløsninger av en lineær differensialligning finnes på enkleste måte ved å anta at de kan skrives som en [[eksponensialfunksjon]].<ref name="Boas">M.L. Boas, ''Mathematical Methods in the Physical Sciences'', John Wiley & Sons, New York (1983). ISBN 0-471-04409-1.</ref> Da er {{nowrap|''x''(''t''&thinsp;) {{=}} exp(''&alpha;t'')}} hvor foreløbig størrelsen ''&alpha;'' er ukjent. Settes denne antagelsen inn i ligningen, finner man

: <math> (\alpha^2 + \omega^2)e^{\alpha t} = 0 </math>

Denne er kun oppfylt når ''&alpha; = &plusmn;i&omega;''&thinsp; hvor ''i'' = &radic;-1 er den [[imaginær enhet|imaginære enhet]]. Derfor er den generelle løsningen av differensialligningen

: <math> x(t) = ae^{i\omega t} + be^{-i\omega t} </math>

Da koordinaten ''x'' er et [[reelle tall|reelt tall]], må de to integrasjonskonstantene ''a'' og ''b'' være [[konjugert (matematikk)|komplekskonjugerte]] av hverandre. Ved å benytte [[Eulers formel]] for eksponensialfunksjonene, kan løsningen skrives på formen

:<math> x(t) = B\cos\omega t + C\sin\omega t</math>

etter å ha erstattet de to opprinnelige integrasjonskonstantene  med to andre, reelle konstanter ''B''&thinsp; og ''C''. Alternativt kan nå dette skrives på den opprinnelige formen {{nowrap|''x'' {{=}} ''A''&thinsp;cos(''&omega;t - &phi;'')&thinsp;}} når man innfører {{nowrap|''B {{=}} A''&thinsp;cos''&phi;''&thinsp;}} og {{nowrap|''C {{=}} A''&thinsp;sin''&phi;''}} og gjør bruk av den [[trigonometriske identiteter|trigonometriske identiteten]] for cosinus til en differanse av to vinkler. Maksimalt og minimalt utslag er henholdsvis {{nowrap|''x<sub>max</sub> {{=}} A''&thinsp;}} og {{nowrap|''x<sub>min</sub> {{=}} -A''}}.

===Andre utledninger===
[[Differensialligning]]en som beskriver bevegelsen til oscillatoren, kan finnes på andre måter som ved bruk av [[Lagrangemekanikk|Lagrange-mekanikk]] eller [[Hamilton-mekanikk]].<ref name = Goldstein>H. Goldstein, ''Classical Mechanics'', Addison-Wesley Publishing Company, New York (1959).</ref> Men den enkleste måten tar utgangspunkt i at den totale energien

: <math> E = \frac{1}{2}m\dot{x}^2 + \frac{1}{2}kx^2 </math>

er konstant. Den deriverte med hensyn på tiden er derfor null slik at

: <math> (\ddot{x} + \omega^2x^2)\dot{x} = 0 </math>

hvor <math> \ddot{x} </math> er den dobbeltderiverte av ''x''. For at denne ligningen skal være oppfylt, må enten <math>\dot{x} = 0  </math> eller at innholdet i parentesen er null. Det første alternativet er uinteressant da den betyr at partikkelen har null hastighet og derfor ligger i ro. Men den andre betingelsen betyr at ligningen

: <math>\ddot{x} + \omega^2x^2 = 0   </math>

må være oppfylt. Den er den samme som tidligere funnet og kalles vanligvis for '''svingeligningen''' for vinkelfrekvens ''&omega;''. Det er den fundamentale bevegelsesligningen for den harmoniske oscillator.