Redigerer Hamilton-mekanikk (avsnitt)

==Hamiltons ligninger==

For hver posisjonsvariabel ''q<sub>n</sub>'' kan man definere en ''konjugert'' impuls

: <math> p_n = {\partial L\over\partial \dot{q}_n} </math>

som vanligvis kalles for en komponent av '''den kanoniske impulsen'''.  Deres variasjon med tiden  er gitt av Euler-Lagrange-ligningen som nå kan skrives på formen

: <math> {dp_n\over dt} = {\partial L\over\partial q_n} </math>

Fra ligningen som definerer den kanoniske impulsen, kan man nå uttrykke hastighetskomponentene  <math> \dot{q}_n </math> som en funksjon av ''q<sub>n</sub>'' og ''p<sub>n</sub>''. Disse to set med variable kan så benyttes som nye variable i problemet. Dette er essensen av Hamiltons nye formulering av de mekaniske lovene.

Dette kan mer systematisk gjennomføres ved å betrakte differensialet

: <math> dL =  {\partial L\over\partial q}\cdot dq+ {\partial L\over\partial \dot{q}} \cdot d\dot{q} 
                       + {\partial L\over\partial t} dt  </math>

hvor <math> q </math> og <math> \dot{q} </math> betraktes som to uavhengige variable. Ved å innføre den kanoniske
impulsen, kan dette nå skrives om på formen

: <math> d (p \cdot \dot{q} - L) =  -{\partial L\over\partial q} \cdot dq + \dot{q}\cdot dp  
                          - {\partial L\over\partial t} dt  </math>

På høyre side opptrer ikke lenger differensialet av hastigheten <math> \dot{q} </math>, men i stedet differensialet 
''dp''&thinsp;. Det betyr at hva som står på venstre side, er en funksjon av koordinatene ''q'', impulsene ''p'' samt tiden ''t''. Dette er '''Hamilton-funksjonen''' for systemet definert som

: <math> H(q,p,t)  = p \cdot\dot{q} - L(q,\dot{q},t)  </math>

Den eksplisitte formen finnes ved å bruke uttrykket for den kanoniske impulsen til å finne <math> \dot{q} </math> som en funksjon av ''q'' og ''p'' og så sette dette inn på høyre side i denne definisjonen. Dette skiftet av uavhengige variable, kalles en [[Legendre-transformasjon]] som også blir utstrakt brukt innen [[termodynamikk]]en.

Ved å sammenligne det generelle differensialet

: <math> dH =  {\partial H\over\partial q}\cdot dq + {\partial H\over\partial p} \cdot dp   
                       + {\partial H\over\partial t} dt  </math>

med hva som ble utledet tidligere fra Lagrange-funksjonen, finner man sammenhengene

: <math>  \dot{q}_n = {\partial H\over\partial p_n} ,  \;\;\;\;\;\;   \dot{p}_n = - {\partial H\over\partial q_n}  </math>

som er  '''Hamiltons ligninger'''. Det er ''2N'' slike [[differensialligning]]er, alle av første orden, for de uavhengige variable ''q'' og ''p''.  For å komme frem til den siste Hamilton-ligningen, er den ovenstående Euler-Lagrange-ligningen benyttet. Til hvert tidspunkt angir verdiene for ''q'' og ''p'' systemets tilstand som et punkt i et ''2N''-dimensjonal ''faserom''.

I tillegg følger fra den samme utledningen at

: <math> {\partial H\over\partial t} = - {\partial L\over\partial t} </math>

En eksplisitt avhengighet av tiden i Hamilton-funksjonen forekommer derfor kun når en slik forefinnes i Lagrange-funksjonen.