Redigerer Gnomonikk (avsnitt)

==Horisontale solur==

[[Fil:Sonnenuhr Amtzell.jpg|thumb|300px|Horisontalt solur med polrettet gnomon på torget i Amtzell i Tyskland.]]

Skyggen fra en polrettet gnomon kan også dannes på en vannrett urskive. Man har dermed et [[Solur#Horisontale solur med polrettet viser|horisontalt solur]]. Man kan da tenke seg den ekvatoriale urskiven projisert ned på dette horisontale planet. De radielle timelinjene vil dermed igjen opptre som rette linjer, men ha variabel, gjensidig avstand i det horisontale soluret.<ref name = Waugh/>

Da lengden og retningen til skyggen er bestemt av Solens posisjon, er de mest naturlig forklart ved å angi denne ved [[horisontalkoordinater]]  på himmelhvelvingen, De er astronomisk [[asimut]] ''A''  og [[elevasjon|høyde]] ''h'' som begge varierer med [[timevinkel]]en ''H''. For beskrivelse av solur er det mest praktisk å måle asimut fra den lokale [[meridian]]en slik at Solen har {{nowrap|''A'' {{=}} 0&deg;}} midt på dagen når den [[kulminasjon|kulminerer]] i syd. Av samme grunn måles også timevinkelen fra dette tidspunkt. Det betyr for eksempel at {{nowrap|''H'' {{=}} 15&deg;}} tilsvarer kl.13 om ettermiddagen, mens {{nowrap|''H'' {{=}} - 30&deg;}} betyr kl.10 om formiddagen.<ref name = Meeus> J. Meeus, ''Astronomical Algorithms'', William-Bell Inc, Richmond VA (1991). ISBN 0-943396-35-2.</ref>

For et solur på geografisk [[breddegrad|bredde]] ''&phi;'' er disse horisontale koordinatene for Solen gitt ved

: <math> \sin h = \sin\phi\cdot\sin\delta + \cos\phi\cdot\cos\delta\cdot\cos H </math> 
: <math> \sin A\cdot\cos h = \cos\delta\cdot\sin H </math>
: <math>  \cot A\cdot \sin H = \sin\phi\cdot\cos H - \cos\phi\cdot\tan\delta  </math>

når den har timevinkel ''H'' og [[deklinasjon]] ''&delta;''. Midt på dagen når {{nowrap|''H'' {{=}} 0&deg;}}, følger derfor solhøyden fra sin''h''<sub>0</sub> = cos(''&phi;'' - ''&delta;'') som betyr at ''h''<sub>0</sub> =  {{nowrap|90&deg; - ''&phi;'' + ''&delta;''}}. Tilsvarende resultat kan finnes ved midnatt {{nowrap|''H'' {{=}} 180&deg;}} og gir ''h''<sub>180</sub> =  {{nowrap|''&phi;'' + ''&delta;'' - 90&deg;}}. Om sommeren vil denne solhøyden være positiv nord for [[Polarsirkel]]en og betyr [[midnattsol]].

===Timelinjer===

Ved et bestemt tidspunkt gitt ved tiimevinkelen ''H'' vil skyggen av den polrettete gnomonen være en en rett linje som forbinder dens feste i den horisontale urskiven og skyggen av gnomonens spiss eller ''nodus''. Avstanden til dette punktet ''P'' fra den vertikale projeksjonen ''O'' av nodus ville være lengden ''r'' av skyggen til en loddrett plassert gnomon i punktet ''O''. Når solhøyden er ''h'', er denne lengden

: <math> r = a\cot h </math>

der ''a'' er høyden til nodus over den horisontale urskiven. Hvis den polrettete gnomonen har lengde ''b'', er da {{nowrap|''a'' {{=}} ''b'' sin''&phi;''}}.

[[Fil:London dial.svg|left|thumb|300px|Eksempel på et horisontalt solur hvor skyggen dannes av øvre kant til en triangelformet [[gnomon]].]]
For å beregne posisjonen til skyggens endepunkt ''P'' på urskiven, kan man benytte et [[kartesisk koordinatsystem]] med origo i ''O'' med ''y''-akse rett nordover og ''x''-akse mot øst. Da har dette punktet koordinater {{nowrap|''x'' {{=}} ''r'' sin''A''&thinsp;}} og {{nowrap|''y'' {{=}} ''r'' cos''A''}}.  Her kan sin''A''&thinsp; og cos''A''&thinsp; uttrykkes ved timevinkelen ''H'' fra ved de to ligningene i koordinattransformasjonen. Det gir

: <math> x = a{\cos\delta\over\sin h} \sin H, \;\;\; y =  a{\cos\delta\over\sin h}\big(\sin\phi\cdot\cos H - \cos\phi\cdot\tan\delta\big) </math>

Når timevinkelen ''H'' har en viss verdi, er skyggen en rett linje som forbinder dette punktet ''P'' = (''x,y'') med det faste punktet {{nowrap|(0, -''a''&thinsp;cot''&phi;'') på urskiven.}} Ligningen for denne timelinjen kommer frem ved å skrive uttrykket for ''y'' som

:  <math> y = {x\over\sin\phi\cdot\tan H} - {a\over\tan\phi} </math>

Linjen danner derfor en vinkel ''&theta;'' med ''y''-aksen hvor

: <math> \tan\theta = \sin\phi\cdot\tan H </math>

Vinkelen er null midt på dagen, og skyggen peker rett nordover som skyldes at Solen da står i syd. Etter som tiden går og ''H'' øker, vil ''&theta;&thinsp;'' vokse og skyggeviseren dreier seg med klokken. Dette viktige uttrykket for horisontale solur kan utledes på flere andre måter.<ref name = Austin> D. Austin, [https://www.ams.org/publicoutreach/feature-column/fc-2011-08 ''The Shadow Knows: How to measure time with a sundial''], American Mathematical Association, August (2011).</ref>

===Deklinasjonslinjer===

[[Fil:Rolduc zw 1.jpg|thumb|300px|Time- og datolinjer tegnet inn på en vertikal urskive.]]
I løpet av en dag beveger skyggen seg over urskiven fra soloppgang der {{nowrap|''h'' {{=}} 0}}, til Solen går ned om kvelden når {{nowrap|''h'' {{=}} 0}} igjen. Skyggen av nodus {{nowrap|''P'' {{=}} (''x,y'')}} beskriver dermed en [[kurve]] på den horisontale urskiven. Dens plassering og form er avhengig av deklinasjonen ''&delta;'' og vil derfor langsomt forandre seg fra dag til dag. Den omtales derfor som en  [[Gnomon#Timelinjer og datomarkeringer|datolinje]] eller ''deklinasjonslinje''.

Disse linjene kan bestemmes ved å eliminere timevinkelen ''H'' fra uttrykkene for koordinatene  til ''P''. Fra ''y&thinsp;'' finnes cos''H'' som innsatt i uttrykket for ''x&thinsp;'' gir sin''H''. Ved å benytte at {{nowrap|sin<sup>&thinsp;2</sup>''H'' + cos<sup>&thinsp;2</sup>''H'' {{=}} 1}}, finnes dermed en sammenheng mellom ''x'' og ''y'' som er ligningen for kurven. Den kan skrives som

: <math> x^2\sin^2\!\delta + y^2(\sin^2\!\delta - \cos^2\!\phi) + 2ay\sin\phi\cdot\cos\phi = a^2(\sin^2\!\phi - \sin^2\!\delta) </math>

og fremstiller i allminnelighet et [[kjeglesnitt]] med hovedakser parallelle med koordinataksene og symmetrisk om ''y''-aksen. Dets eksakte form er hovedsakelig bestemt av koeffisienten til ''y''<sup>&thinsp;2</sup>-leddet. Den er positiv når ''&phi;'' > {{nowrap|90&deg; - ''&delta;''}} slik at deklinasjonslinjen er del av en [[ellipse]]. Soluret må da være plassert nord for [[Polarsirkel]]en. I det spesielle tilfellet at ''&phi;'' = {{nowrap|90&deg; - ''&delta;''}} blir denne spesielle datolinjen del av en [[parabel]].<ref name = Meeus/>

For steder lenger syd er koeffisienten alltid negativ, og deklinasjonslinjene er deler av [[hyperbel|hyperbler]]. Men ved begge [[jevndøgn]]ene der ''&delta;'' = 0&deg;, går disse over til  den rette linjen ''y'' = ''a''&thinsp;tan''&phi;'' parallell med ''x''-aksen. Solen befinner seg da i et plan som står vinkelrett på den polrettete gnomonen. Skyggen av nodus fremstiller en rett linje som beskriver Solens gang disse to spesielle dagene.