Redigerer Funksjon (matematikk) (avsnitt)

== Formell definisjon ==

<!--[[Fil:Function_illustration.svg|frame|Illustrasjon av definisjonen av en funksjon]] -->
[[Fil:Codomain2.SVG|thumb|En funksjons definisjonsmengde i rød farge, verdimengden i gul og verdiområdet i unionen av blå og gul]]
En intuitiv idé om en funksjon som en «regel» er svært gammel og er fremdeles brukt som definisjon i en del lærebøker i matematisk analyse. En funksjon defineres da 
som en regel som tildeler hvert element i en mengde ''D'' ett enkelt element av en mengde ''C''.<ref name=AAS1A/>
Selv om definisjonen er tilstrekkelig for mange formål, er det ikke alltid tilfredsstillende at den støtter seg på det udefinerte begrepet «regel». 

I dag er det vanlig å tolke «regel» som en [[binær relasjon]].  Formelt kan en funksjon <math>f</math> fra en mengde <math>D</math> til en mengde <math>C</math> defineres som en mengde 
<math>G</math> av [[ordnede par]] <math>(x,y)</math> i det [[Kartesisk produkt|kartesiske produktet]] <math>D \times C</math>.  Mengden skal være entydig, i den forstand at hvis <math>(x,y) \in G</math> 
og <math>(x,z) \in G</math>, så er <math>y = z</math>.<ref name=AAS1A/><ref name=MILNE1/><ref name=BARTLE/><ref name=THOMAS1/> 

Definisjonen krever ikke at <math>f</math> er definert for alle elementer i mengden <math>D</math>.  
Dersom funksjonen <math>f</math> er definert for alle elementer i <math>D</math>, så sies funksjone å være ''total''.{{tr}}
Vanligvis blir ordet funksjon brukt til å bety en total funksjon. [[Delfunksjon|Ikke-totale funksjoner]] er viktige i [[funksjonsanalyse]], matematisk logikk og [[kategoriteori]].

Mengden <math>G</math> kalles [[funksjonsgraf|grafen]] til funksjonen.  Ikke alle forfattere skiller mellom funksjonen og grafen,<ref name=MILNE1/> og denne identifikasjonen fjerner 
behovet for spesifisere <math>D</math> og <math>C</math> i den formelle definisjonen.

[[Definisjonsmengde]]n <math>A \subset D</math> til funksjonen er mengden av alle elementer som funksjonen <math>f</math> er definert for:

:<math>
A = \{ x \in D \ | \ (x,y) \in G \}
</math>

Synonyme ord er definisjonsområde, domene og kilde. Et element i definisjonsmengden er et ''argument'' for funksjonen. For en total funksjon er <math>A = D</math>.  

Mengden ''C'' kalles ''verdiområdet'' til funksjonen. Mengden <math>V_f</math> av elementer i <math>C</math> som svarer til et ordnet par i <math>G</math>, kalles [[verdimengde]]n til <math>f</math>:

:<math>V_f = \{ y \in C \ | \ (x,y) \in G \} </math>

Verdimengden er en [[delmengde]] av verdiområdet.  Alternative navn for verdiområdet er ''kodomenet'' og for verdimengden ''bildet'' eller ''bildemengden''.  

''Nullmengden'' til en funksjon er mengden av argument som gjør funksjonen lik null.  
<math>N_f=\{x\in A\;|\; f(x)= 0\}</math>.  Nullmengden er en delmengde av definisjonsmengden.     

Ulike disipliner kan bruke spesielt tilpassede varianter av den formelle funksjonsdefinisjonen.  
I kategoriteori blir i noen sammenhenger mengden ''D'' kalt definisjonsmengden til ''f'', selv om funksjonen ''f'' ikke er definert for hvert element i ''D''.{{tr}} 
I andre disipliner kan en droppe kravet om at en funksjon skal være entydig, det vil si returnere kun én verdi for et gitt argument.<ref name=ETYM/><ref name=CHURCH/>
En bruker da formuleringer som en «entydig funksjon» og en «flertydig funksjon» for å skille mellom disse to tilfellene.