Redigerer Fullstendig firkant (avsnitt)

===Harmonisk deling===
[[Fil:pappusharmonic.svg|thumb|right|300px|En fullstendig firkant med seks hjørner ABKLMN og tre diagonaler AB, KL og MN.]]

Et viktig teorem i [[projektiv geometri]] er at at hver diagonal blir [[harmonisk deling|delt harmonisk]] av de to andre diagonalene i en fullstendig firkant. Hvis dens seks hjørner betegnes med ABKLMN vil for eksempel diagonalen mellom A og B deles harmonisk av de to skjæringspunktene C og D som fremkommer som skjæringspunkt med de to andre diagonalene. De forskjellige linjestykkene på denne linjen vil da forholde seg til hverandre som

: <math> {AD\over BD} = {AC\over BC} </math>

når man ser bort fra retningene til linjestykkene. Dette kan bevises på forskjellige måter. Man kan for eksempel gjøre bruk av [[dobbeltforhold]]et til de fire punktene A, B, C og D.<ref name = CR/> Alternativt kan kan mer analytisk benytte [[Projektivt plan#Ideelle punkt og linjer|projektive koordinater]] basert på en referansetrekant i firkanten.<ref name = Faulkner>T.E. Faulkner, ''Projective Geometry'', Dover Publications, New York (2006). ISBN 0-486-45326-X.</ref>

Man kan komme frem til samme resultat på en mindre abstrakt måte ved å benytte teoremene til [[Menelaos fra Alexandria|Menelaos]] og [[Giovanni Ceva|Ceva]].<ref name = Holst/> Trekanten ABM skjæres av diagonalen KL. [[Menelaos' teorem]] sier dermed at

: <math> {LM\over LA}\cdot {BK\over MK}\cdot {AD\over BD} = 1 </math>

I tillegg kan punktet N brukes i [[Cevas setning]] for den samme trekanten ABM da det inneholder linjer fra alle hjørnene i trekanten. Derfor har man også

: <math> {LM\over LA}\cdot {BK\over MK}\cdot {AC\over BC} = 1 </math>

[[Fil:Newton-Gauss Line Default Figure.png|thumb|300px|Halveringspunktene ''L'', ''M'' og ''N&thinsp;'' til de tre diagonalene ''EF'', ''AC'' og ''BD''  <span style="color:red;"> (røde)</span> i den fullstendig firkanten ''ABCDEF'' ligger på Newtons linje <span style="color:green;"> (grønn). </span>]]

når man igjen ser bort fra fortegnene til linjestykkene. Ved å kombinere disse to resultatene, har man dermed beviset for den harmoniske delingen.

Det er denne harmoniske sammenhengen mellom punktene på en diagonal i en fullstendig firkant som gir den en sentral rolle i teorien for [[pol og polare]] til generelle [[kjeglesnitt]].