Redigerer Fermi-Dirac statistikk (avsnitt)

===Frie partikler===

En klassisk partikkel med masse ''m&thinsp;'' har energi ''E'' = ''p''<sup>&thinsp;2</sup>/2''m&thinsp;''  når den har [[bevegelsesmengde|impulsen]] ''p''. Kvantemekanisk må man da tenke seg at den beveger seg fritt innen et makroskopisk stort volum ''V'' =  ''L''<sup>3</sup>. Hvis den skal ha null sannsynlighet for å ikke kunne finnes utenfor dette, må veggene til volumet beskrives som hardt frastøtende. Det tilsvarer at den befinner seg i et uendelig dypt, tredimensjonalt [[Schrödinger-ligning#Partikkel i kassepotensial|kassepotensial]] med sidekanter ''L''. Dens kvantiserte energier blir da

:  <math> E_{n_x,n_y, n_z} = {\hbar^2\pi^2 \over 2m L^2} (n_x^2 + n_y^2 + n_z^2) </math>

hvor komponentene til vektoren '''n''' = {{nowrap|(''n<sub>x</sub>'',''n<sub>y</sub>'',''n<sub>z</sub>'')}} er de tre kvantetallene som er positive [[heltall]].<ref name = Griffiths/>

Når sidekanten ''L&thinsp;'' er stor, vil alle egenverdiene kunn angis med punkt som ligger tett på et kubisk gitter. Antall tilstander med energier mellom ''E&thinsp;'' og {{nowrap|''E&thinsp;'' + ''dE&thinsp;,''}} er da gitt av antall punkt i første kvadrant med kvantetalll mellom ''n&thinsp;'' og {{nowrap|''n&thinsp;'' + ''dn&thinsp;''}} hvor {{nowrap|''n''<sup>&thinsp;2</sup> {{=}} '''n'''&thinsp;&sdot;&thinsp;'''n'''}}. Denne degenerasjonen blir da

: <math> {1\over 8} \cdot 4\pi n^2 dn = {V\over 4\pi^2} \left({2m\over \hbar^2}\right)^{3/2} E^{1/2} dE </math>

når man benytter sammenhengen <math> E =  (\hbar^2\pi^2 /2m L^2) n^2 . </math> Dette er i overenstemmelse med <math> Vd^3p/h^3 = 4\pi V p^2 dp/(2\pi\hbar)^3 </math> som også benyttes for partikler som følger [[Maxwell-Boltzmann statistikk#Fri partikkel|Maxwell-Boltzmann statistikk]]. I tillegg kommer en multiplikativ spinn-degenerasjon {{nowrap|2''s'' + 1}} som gir en ekstra faktor 2 for [[elektron]]er og [[nukleon]]er som har {{nowrap|''s'' {{=}} 1/2.}} Dette resultatet for antall mikrotilstander kan alternativt finnes ved bruk av [[Kvantisert strålingsteori#Periodiske grensebetingelser|periodiske grensebetingelser]]  for bølgefunksjonen istedenfor å anta harde vegger i et kassepotensial som gjort her.