Redigerer Eudoksos fra Knidos (avsnitt)

==Matematikk==

I motsetning til [[geometri]] var [[aritmetikk]] lite utviklet før Eudoksos' og basert på [[naturlig tall|naturlige tall]] og deres [[brøk]]er. En rasjonell brøk er et [[forhold]] mellom to [[heltall]], men kunne ikke benyttes til å uttrykke relasjoner mellom vilkårlige lengder eller arealer i geometrien. Etter at [[pytagoreer]]ne hadde oppdaget at det finnes [[irrasjonalt tall|irrasjonale tall]] som &radic;2, var det ikke lenger klart hva slags egenskaper disse tallene hadde og hvordan de kunne benyttes. 

Rent geometrisk var dette ikke noe problem da de kunne [[konstruksjon (geometri)|konstrueres]] som lengden av [[diagonal]]en i et [[kvadrat]]. Hvis siden har lengde ''s'' og diagonalen har lengde ''d'', er da forholdet ''d:s'' = &radic;2. Eudoksos generaliserte slike forhold mellom to generelle størrelser, men av samme sort. Det kunne gjelde forholdet mellom to lengder, mellom to flater eller mellom to tall. Derimot kan man ikke ha noe forhold mellom en linje og et areal eller mellom en linje og et tall. 

Hver slik størrelse ''A'' i et slikt forhold kan multipliseres med [[heltall]]. Det følger av at de kan adderes slik at man kan skrive ''A'' + ''A'' = 2''A'' og så videre. [[Euklid]] gjorde bruk av slike forhold i sitt stor verk ''[[Euklids Elementer|Elementer]]''. I Bind V sies det at et forhold mellom to størrelser eksisterer når et heltalls multiplum av den ene kan gjøres større enn den andre. En slik størrelse kan derfor ikke være null. For eksempel vil 1 og &radic;2 dermed ha et forhold da 1 × √2 > 1 og 2 × 1 > √2. Denne antagelsen kalles ofte for [[Arkimedes' aksiom]] da  [[Arkimedes]]  senere gjorde bruk av den, men han ga Eudoksos æren for definisjonen.<ref name = Boyer> C.B. Boyer, ''A History of Mathematics'', Princeton University Press, New Jersey (1985). ISBN 0-691-02391-3.</ref>

[[Fil:Dedekind cut- square root of two.png|thumb|380px|Det [[irrasjonalt tall|irrasjonale tallet]] √2 er større enn alle rasjonale tall i det røde feltet og samtidig mindre enn alle rasjonale tall i det blå området.]]
En [[proporsjon]] er en likhet mellom to forhold og kan generelt skrives som ''A''&thinsp;:&thinsp;''B'' = ''a''&thinsp;:&thinsp;''b''. Her er størrelsene ''A'' og ''B'' av samme sort på samme måte som ''a'' og ''b'' er det, men ikke nødvendigvis av samme sort som ''A'' og ''B''. De kunne for eksempel være heltall slik at deres forhold kan skrives som den rasjonelle [[brøk]]en  {{nowrap|''a''&thinsp;:&thinsp;''b'' {{=}} ''a''/''b''}}.

Proporsjonen ''A''&thinsp;:&thinsp;''B'' = ''a''&thinsp;:&thinsp;''b'' eksisterer når man for vilkårlige heltall ''m'' og ''n'' har at ''nA'' er større, lik eller mindre enn ''mB'' når ''na'' er større, lik eller mindre enn ''mb''. Alternativt kan man dermed si at forholdet ''A''&thinsp;:&thinsp;''B'' er større, likt eller mindre enn ''m''/''n'' når ''a''&thinsp;:&thinsp;''b'' er større, likt eller mindre enn ''m''/''n''. Denne behandlingen av irrasjonale forhold ble diskutert i Bind X av ''Elementer''. Dette ligger tett opp til den moderne definisjonen av irrasjonale tall som grensen av sekvenser med rasjonale tall og som ble etablert av [[Richard Dedekind]] over to tusen år senere.

Eudoksos kunne på denne måten bevise at arealet til en [[sirkel]] måte øke kvadratisk med dens diameter. Likedan fant han at volumet av en [[kjegle]] eller pyramide er 1/3 av volumet til en tilsvarende sylinder eller prisme med samme grunnflate og høyde. Han gjorde da bruk av [[utfyllingsmetode]]n som Arkimedes videreførte.<ref name = Holme/>

Navnet til Eudoksos forbindes noen ganger også med en spesiell [[kurve]] som kunne anvendes i forbindelse med [[kubens fordobling]]. I moderne notasjon kan den skrives som  ''x''<sup>4</sup> = {{nowrap| ''a''<sup>2</sup>(''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup>)}} og kalles en ''kampyle''. Hans lærer Arkhytas var kjent for å være opptatt med dette problemet.<ref> J.D. Lawrence, ''A catalog of special plane curves'', Dover Publications, New York (1972). ISBN 0-486-60288-5.</ref>