Redigerer Elliptisk geometri (avsnitt)

==Elliptiske plan==
[[Fil:Polardreieck1.svg|thumb|200px|En [[sfærisk trekant]] hvor summen av de indre vinklene er 270&deg;.  Punktet ''C'' er [[Pol og polare|polen]] til linjen gjennom ''A'' og ''B''.]]
I vårt tredimensjonale rom er det bare mulig å betrakte et dobbeltelliptisk plan. Dette utgjøres av en todimensjonal [[sfære]] eller kuleflate '''S'''<sup>2</sup>. Som i andre ikke-euklidske geometrier er linjer definert som [[geodetisk kurve|geodetiske kurver]] som gir den korteste forbindelsen mellom to punkt. På sfæren blir det deler av [[storsirkel|storsirkler]] som kan forlenges til lukkede kurver med endelig lengde. Hver av dem vil da dele dette planet i to halvsfærer. To slike linjer gjennom et punkt vil alltid skjære hverandre igjen i et annet, ''polart'' motpunkt når de forlenges. Et velkjent eksempel er [[Jorden]]s overflate hvor [[ekvator]] utgjør en linje. Dette er den eneste [[breddegrad]] som er oppfyller kravet til å være en hel linje, mens alle [[lengdegrad]]er er det da de går gjennom [[Nordpolen]] og [[Sydpolen]] som er motsatte poler.

To punkter på en sfære definerer alltid  en slik lukket linje. Derimot går det uendelig mange linjer gjennom to punkt som er hverandres [[antipode]]r. Dette er forbundet med at i denne geometrien kan også [[pol og polare]] defineres der polarene er linjer som hver har to poler, noe som er avspeilt i navnet dobbeltelliptisk.

===Det enkeltelliptiske planet===

Når to vilkårlige punkt ligger kun på én linje, er geometrien enkelelliptisk og er det som definerer elliptisk geometri i vanlig forstand. Et slikt plan er det ikke mulig for oss å forestille seg i sin helhet selv om små deler av det har samme egenskaper som en tilsvarende, liten del av en kuleflate.

[[Fil:BoysSurfaceTopView.PNG|thumb|200px|En grafisk fremstilling av det enkeltelliptiske planet.]]
En måte å tenke seg denne [[flate]]n er å ta utgangspunkt i en vanlig sfære som er kuttet langs en storsirkel som man kan kalle ekvator. Punkter på den ene halvdelen kan nå betraktes å være i et enkeltelliptisk plan. Her kan to vilkårlige punkt forbindes med en entydig linje som er en del av en storsirkel. Men forlenges dette linjestykket ut fra disse to endepunktene, vil man komme til to motsatte punkt på ekvator. Disse to punktene defineres nå å være ett og det samme punkt. Dermed får en lukket linje i dette planet bare halvparten av den lengden den ville ha hatt på hele sfæren.<ref name = Cederberg/>

Hvert punkt på ekvator identifiseres på denne måten med sin motpol i det motsatte punktet på ekvator. Hvordan den resulterende flaten dermed vil bli seende ut, er vanskelig å forestille seg. Den vender seg på et vis inn i seg selv når man tenker på den i det tredimensjonale rommet.

Dette problemet tilsvarer den forestillingen man har av en [[torus]]. Vanligvis tenker man seg denne som overflaten til en smultring som har en [[Differensiell flategeometri#Krumning|krumning]] som varierer fra punkt til punkt. Men matematisk er den definert som det direkte produktet '''S'''<sup>1</sup>&times;&thinsp;'''S'''<sup>1</sup> av to sirkler. Den er en todimensjonal flate med null krumning som man bare kan forestille seg hvis den skulle befinne seg i et firedimensjonalt rom. På samme måte må man tenke seg at det enkeltelliptiske planet befinner seg i et rom med flere enn tre dimensjoner hvor det har en konstant, positiv krumning.<ref name = Guggenheimer>H.W. Guggenheimer, ''Differential Geometry'', Dover Publications, New York (1977). ISBN 0-486-63433-7.</ref>

===Metriske egenskaper===

På samme måte som euklidsk geometri er også elliptisk geometri ''metrisk'' ved at lengden til linjestykker og størrelse av areal kan bestemmes. Det kan gjøres på flere forskjellige måter, men i [[Riemanns differensialgeometri]] er det formalisert i den [[metrisk tensor|metriske tensoren]] som er ekvivalent med et kvadrert [[Differensiell flategeometri|linjeelement]]. Ved bruk av [[kulekoordinater]] (''&theta;,&phi;'') på en sfære med radius ''a'' er dette

: <math> ds^2 = a^2(d\theta^2 + \sin^2\!\theta d\phi^2) </math>

der den asimutale vinkelen ''&phi;'' tar verdier fra 0 til 2''&pi;&thinsp;''. I dobbeltelliptisk eller [[sfærisk geometri]] varierer den polare vinkelen ''&theta;'' mellom 0 og ''&pi;&thinsp;''. Lengden av en full storsirkel blir dermed 2''&pi;&thinsp;a'', mens arealet til hele kuleflaten er 4''&pi;&thinsp;a''<sup>&thinsp;2</sup>.

I hvert lite område er de metriske egenskapene til både den enkeltelliptiske og dobbeltelliptiske geometrien den samme. De er derfor beskrevet ved den samme, metriske  tensoren. Men det  enkeltelliptiske rommet tilsvarer bare halvparten av en full sfære der punktene langs ekvator er identifiserte med hverandre. Forskjellen mellom de to geometriene opptrer dermed først over store avstander.  Dette er matematisk beskrevet ved at den polare vinkelen ''&theta;'' kun tar verdier i intervallet mellom 0 og ''&pi;&thinsp;''/2 i denne elliptiske geometrien. En lukket linje i planet har derfor lengden ''&pi;&thinsp;a'', mens dets areal er 2''&pi;&thinsp;a''<sup>&thinsp;2</sup>. På tross av disse enkle resultatene er det likevel nesten umulig å forestille seg et slikt elliptisk plan.<ref name = Guggenheimer/>