Redigerer Ellipse (avsnitt)

== Polarform ==
[[Fil:Ellipse def norsk.png|thumb|400px|Terminologi knyttet til ellipsen]]
[[Fil:Ellipse params.png|thumb|400px|Parametre for en ellipse]]
Gitt en styrelinje og et brennpunkt ''F'', og la avstanden mellom disse være <math>h</math>.  
For et vilkårlig punkt på ellipsen ''P'' er avstanden til styrelinjen alltid proporsjonal med avstanden til brennpunktet:

:<math>|FP| = e|SP| </math>

Proporsjonalitetsfaktoren <math>e</math> kalles ''eksentrisiteten''.  
Linjen normalt på styrelinjen gjennom brennpunktet kalles ''aksen'' til ellipsen.  
I [[polarkoordinatsystem|polarkoordinater]] <math>(r, \theta)</math>. med polen definert i brennpunktet og akse langs ellipseaksen, kan dette skrives som

:<math>
\begin{alignat}{2}
r &= e(h + r \cos \theta) \\
&= \frac{eh}{1 - e\cos \theta}
\end{alignat}
</math>

Ellipsen skjærer <math>x</math>-aksen i to ''toppunkt'', for <math>\theta = 0^\circ</math> og for <math>\theta = 180^\circ</math>.  Avstanden fra disse toppunktene til brennpunktet ''F'' er

:<math>
\begin{alignat}{2}
k &= r(\theta = 0^\circ) \ &= \ \frac{eh}{1-e}  \\
g &= r(\theta = 180^\circ) \ &= \ \frac{eh}{1+e}
\end{alignat}
</math>

Avstanden mellom toppunktene er dermed

:<math>k + g = \frac{eh}{1-e} + \frac{eh}{1+e} = \frac{2eh}{1-e^2} </math>

En vilkårlig [[korde]] mellom to punkt på ellipsen, parallelt med styrelinjen, vil ha lengden

:<math>w(\theta) = 2 r \sin \theta = 2 \frac{eh \sin \theta}{1 - e\cos \theta} </math>.

Denne funksjonen har en maksimumsverdi for <math>\cos \theta^\ast = e</math>, og maksimumsverdien er gitt ved

:<math>w(\theta^\ast) = 2 \frac{eh}{1 - e^2} \sqrt{1 - e^2}</math>

Halve avstanden mellom de to toppunktene er den ''store halvaksen'' i ellipsen.  Den ''lille halvaksen'' er halvparten av maksimumsverdien for <math>w</math>:

:<math>
\begin{alignat}{2}
a &= \frac{eh}{1-e^2} \\
b &= \frac{eh}{1 - e^2} \sqrt{1 - e^2}
\end{alignat}
</math>

De to halvaksene skjærer hverandre i ''sentrum'' i ellipsen, i en avstand fra brennpunktet ''F'' gitt ved

:<math>r(\theta^\ast)\cos \theta^\ast = \frac{e^2h}{1 - e^2} = ea</math>.

Denne ligningen gir også et uttrykk for avstanden mellom brennpunktet og styrelinjen, uttrykt ved den store halvaksen:

:<math>h = \frac{a}{e}(1-e^2)</math>

Avstanden fra sentrum til styrelinjen er gitt ved

:<math>h + ea = \frac{a}{e}(1 - e^2) + ea = \frac{a}{e}</math>

En kan vise fra polarkoordinatene at ellipsen har et alternativt sett av brennpunkt og styrelinje symmetrisk om sentrum.  Det vil si at ellipsen har ''to'' brennpunkt, hvert punkt i avstanden
<math>ae</math> fra sentrum.  Tilsvarende har ellipsen to styrelinjer, hver i avstanden <math>a/e</math> fra sentrum.  
Ellipsen er symmetrisk om sentrum.

Korden mellom to punkt på ellipsen, parallelt med styrelinjen og gjennom brennpunktet, kalles ''latus rectum''.  Lengden <math>l</math> av denne er

:<math>l = 2 r(\theta = 90^\circ) = 2eh</math>

Halve korden kalles [[semi latus rectum|semi-latus rectum]], med lengde <math>p = l/2 = eh</math>.

=== Effekt av eksentrisiteten === 
[[Fil:Ellipse-var.svg|thumb|Effekt av økende eksentrisitet nedover i figuren]]
Når eksentrisiteten øker mot 1 vil et brennpunkt og et toppunkt i ellipsen nærme seg hverandre.  Fra uttrykkene fra halvaksene følger det også at

:<math>\frac{b}{a} = \sqrt{1-e^2}</math>

Siden forholdet minker når eksentrisiteten øker mot 1, så blir ellipsen mer og mer flattrykt.

=== Sammenheng mellom geometriske definisjoner ===

Polarformen kan brukes til å vise at de to geometriske definisjonene for ellipsen er ekvivalente.  Gitt et vilkårlig punkt ''P'' på ellipsen, og la avstanden fra dette punktet
til de to styrelinjene være henholdsvis <math>l_1</math> og <math>l_2</math>. Tilsvarende la <math>r_1</math> og <math>r_2</math> være avstanden fra punktet til de to brennpunktene.  
Fra definisjonen med brennpunkt og styrelinje følger det at

:<math>
\begin{alignat}{2}
 r_1 = e l_1 \\
 r_2 = e l_2
\end{alignat}
</math>

Siden <math>(l_1 + l_2)</math> er lengden mellom styrelinjene følger det direkte at summen av avstandene fra brennpunktet er konstant:

:<math>r_1 + r_2 = e(l_1 + l_2)</math>