Redigerer Diracs deltafunksjon (avsnitt)

==Definert som grense av en vanlig funksjon==
[[Image:Dirac function approximation.gif|right|frame|Deltafunksjonen ''&delta;(x)'' oppstår i grensen hvor bredden til den normerte Gauss-funksjonen går mot null.]]
Deltafunksjonen kan defineres som en  grense av en vanlig funksjon.<ref name = BJ> B.H. Brandsen and C.J. Joachain, ''Quantum Mechanics'', Pearson Education, Harlow, Essex (2000),  ISBN 0-582-35691-1.</ref> På den måten kan man utvikle en bedre forståelse av funksjonen samtidig som man lettere kan demonstrere flere viktige egenskaper som kan benyttes i praktiske anvendelser.

===Rektangulær funksjon===

En rektangulær funksjon med bredde  ''&epsilon;'' sentrert om origo, er definert ved

: <math>\delta_\epsilon (x) = \begin{cases} 0 , & x < -\epsilon/2, \\ 1/\epsilon, & -\epsilon/2 < x  < \epsilon/2, \\ 0 & x > \epsilon/2. \end{cases}</math>

Integrert over ''x''-aksen gir den opplagt en da det er arealet av dette rektangelet. Nå kan deltafunksjonen defineres som

: <math> \delta(x) = \lim_{\epsilon \to 0} \delta_\epsilon (x)  </math>

og vil ha de ønskede egenskaper. Men den egner seg ikke for nærmere analytiske studier.

===Gauss-funksjon===
En bedre definisjon av deltafunksjonen får man ved å benytte [[Normalfordeling|Gauss-funksjonen]]. Normeres den slik at arealet under denne ''klokkekurven'' er en, vil den akkurat ha egenskapene til ''&delta;(x)'' i grensen hvor dens bredde ''a'' går mot null. Matematisk betyr det at

: <math>\delta(x) =  \lim_{a \to 0} \frac{1}{a \sqrt{\pi}}\, e^{-x^2/a^2} </math>

hvor denne grensen er illustrert i animasjonen til høyre. Dette er opplagt en like funksjon ''&delta;(x) = &delta;(-x)''. Videre sees at  ''&delta;(&alpha;x) =  &delta;(x)/&alpha;'' ved å skalere bredden ''a'' med den samme faktoren.

===Lorentz-funksjon===

En lignende klokkeform har også [[Lorentz-funksjonen]].<ref name = MF/> I grensen hvor dens bredde går mot null, finner man igjen deltafunksjonen

: <math>  \delta(x) = \lim_{\epsilon\to 0} \frac{1}{\pi}\frac{\epsilon}{x^{2}+\epsilon^{2}}   </math>

med de ønskede egenskapene.

Denne definisjonen kan også benyttes til å utlede et meget nyttig uttrykk for ''&delta;(x)''. Det følger fra det konvergente integralet

: <math> \int_{-\infty}^{+\infty}\!dk e^{ikx - \epsilon|k|}  = {1\over ix + \epsilon}  -  {1\over ix - \epsilon}   = {2\epsilon\over x^2 + \epsilon^2} </math>

Nå ved å ta grensen ''&epsilon; &rarr; 0'' på begge sider, har man at

: <math> \delta(x) = \int_{-\infty}^{+\infty}\!{dk\over 2\pi} e^{ikx}  </math>

Integralet på høyre side er ikke lenger helt veldefinert, noe som reflekterer at ''&delta;(x)'' ikke er noen vanlig funksjon.