Redigerer De Broglies bølgelengde (avsnitt)

===Bølgevektor===

Materiebølgen for en  partikkel med impuls ''p'' har en bølgelengde ''&lambda; = h''/''p'' og derfor et [[bølge#Harmoniske bølger|bølgetall]] {{nowrap|''k'' {{=}} 2''&pi;''&thinsp;/''&lambda;''.}} Det kan skrives som {{nowrap|''k {{=}} p''/''ħ''&thinsp;}} der {{nowrap|''ħ {{=}} h''/2''&pi;''&thinsp;}} er den reduserte [[Plancks konstant|Planck-konstanten]]. Da bølgen beveger seg i samme retning som impulsvektoren '''p''', er den tilsvarende bølgevektoren gitt som '''k''' = '''p'''/''ħ''. [[Vinkelfrekvens]]en {{nowrap|''&omega;'' {{=}} 2''&pi;&thinsp;&nu;''&thinsp;}} til bølgen kan på samme måte skrives som {{nowrap|''&omega; {{=}} E''/''ħ''&thinsp;}} da {{nowrap|''&nu; {{=}} E''/''h''}}.

I den [[spesiell relativitet|spesielle relativitetsteorien]] utgjør energien ''E'' og impulsen '''p''' til en fri partikkel en [[Kovariant relativitetsteori#Firevektorer|firevektor]] som blir

: <math> p^\mu = (E/c, \mathbf{p}) = \hbar (\omega/c, \mathbf{k})  =  \hbar  k^\mu</math>

hvor  bølgefirevektoren ''k<sup>&mu;</sup>&thinsp;'' karakteriserer dens materiebølge.  Denne kovariant sammenhengen mellom impuls og bølgetall gjelder også for et [[foton]] som har null masse. En [[bølge#Plane bølger|plan bølge]] på formen

: <math> \Psi(\mathbf{x},t) = e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{x} - \omega t)} = e^{i(\mathbf{p}\cdot\mathbf{x} - Et)/\hbar} </math>

beskriver derfor likså godt [[elektromagnetisk stråling|elektromagnetiske bølger]] som materiebølger. Her kan nå fasen til bølgen skrives på [[Kovariant relativitetsteori#Firevektorer|kovariant]] form som  {{nowrap|''k<sup>&mu;</sup>x<sub>&mu;</sub>&thinsp;''}} der firevektoren  {{nowrap|''x<sup>&mu;</sup>'' {{=}} (''ct'', '''x''')}} og man benytter [[Einsteins summekonvensjon]] og summerer over like indekser.