Redigerer Compton-spredning (avsnitt)

==Spredningstverrsnitt==

Det spredte fotonet kommer ut i en retning gitt ved vinkelen ''&theta;''. Formelen til Compton sier ingenting om ''intensiteten'' av den spredte strålingen i forskjellige retninger, det vil si som funksjon av denne spredningsvinkelen. Denne intensiteten eller brøkdel av fotoner som blir spredt i en gitt retning, kan uttrykkes ved det differensielle [[tverrsnitt (fysikk)|spredningstverrsnitt]]et ''d&sigma;/d&Omega;'' for prosessen. Her er ''d&Omega; = 2&pi;&thinsp;''sin''&theta;d&theta;'' det differensielle romvinkelelementet som angir retningen til den spredte strålingen som vil være symmetrisk fordelt rundt retningen til den innkommende strålingen.
 
===Lav energi===

Når den innkommende stråling har en bølgelengde ''&lambda;'' som er neglisjerbar liten i forhold til Compton-bølgelengden ''&lambda;<sub>C</sub>&thinsp;'', sier man at spredningen foregår ved lav energi. Et innkommende foton vil da ha en energi som er mye mindre enn ''hc/&lambda;<sub>C</sub>&thinsp; = mc<sup>2</sup>&thinsp;'' = 511&thinsp;keV. Elektronet som bevirker spredningen, vil da motta en så liten impuls at det kan antas å bli liggende i ro, mens fotonet blir spredt med uforandret bølgelengde. Spredningsprosessen kan da beskrives ved bruk av [[elektrodynamikk|klassisk elektrodynamikk]]. [[tverrsnitt (fysikk)|Spredningstverrsnitt]]et ble beregnet for over hundre år siden av [[Joseph John Thomson|J.J.Thomson]] og prosessen kalles derfor også for [[Thomson-spredning]]. Han fant resultatet

: <math> {d\sigma\over d\Omega} = {1\over 2}r_0^2 \Big(1 + \cos^2\theta\Big) </math>

hvor ''r''<sub>0</sub>&thinsp; er  den [[klassisk elektronradius|klassiske radius]] til elektronet. Spredningsstverrsnittet eller intensiteten av den spredte strålingen er derfor den samme i fremover ''&theta;'' = 0&deg;&thinsp; som i bakoverretning ''&theta;'' = 180&deg;&thinsp;. Men normalt til den innkommende strålingen ''&theta;'' = 90&deg;&thinsp; er intensiteten bare halvparten av hva den er i fremoverretningen. I alle retninger er den spredte intensiteten den samme uavhengig av bølgelengden til strålingen.

Integrerer man det differensielle virkningstverrsnittet over alle spredningsvinkler ''&theta;''&thinsp;, finner man det totale [[tverrsnitt (fysikk)|spredningstverrsnitt]]et

: <math> \sigma =  {1\over 2}r_0^2 \int_0^\pi\Big(1 + \cos^2\theta\Big)2\pi\sin\theta d\theta  = {8\pi\over 3} r_0^2 = 0,6652 \times 10^{-24}\;\mathrm{cm}^2</math>

Dette sier noe om hvor stor del av den innkommende strålingen som er blitt spredt til siden og bestemmer dermed også intensiteten til strålingen som fortsetter rett frem uten å være spredt.

===Høy energi===
[[Fil:Klein-Nishina distribution-en.svg|thumb|280px|Polart plott av det differensielle Klein–Nishina-virkningstverrsnittet ved forskjellige energier for det innkommende fotonet.]]
Når energien  ''E = h&nu;'' til fotonene i den innkommende strålingen er større enn {{nowrap|0,511&thinsp;MeV}}, gjelder ikke Thomsons formel lenger. Da vil bølgelengden til den spredte strålingen bli forandret og gitt ved Comptons formel. Elektronet som forårsaker spredningen, må beskrives ved den relativistiske [[Dirac-ligning]]en og gir opphav til et nytt spredningstverrsnitt

: <math>  {d\sigma\over d\Omega} = {1\over 2}r_0^2 \left({E'\over E}\right)^2\left[ {E'\over E} + {E\over E'} - \sin^2\theta\right] </math>

hvor  ''E' = h&nu;'&thinsp;'' er energien til det spredte fotonet. Dette resultatet kalles [[Klein-Nishina-tverrsnittet|Klein-Nishina-formelen]] og ble funnet allerede i [[1929]]. Ved lave energier er ''E' = E'' og tverrsnittet går over til resultatet for [[Thomson-spredning]]. 

Det totale spredningstverrsnittet er igjen gitt ved integralet over alle spredningsvinkler og viser at det avtar med økende energi ''E''&thinsp;.

Regner man litt mer nøyaktig, vil man finne at for ''E < mc<sup>2</sup>'' avtar det som

: <math> \sigma \approx {8\pi\over 3} r_0^2\left( 1 - {2E\over mc^2}\right) </math>

For mye høyere energier  ''E > mc<sup>2</sup>'' avtar det derimot mye raskere som

: <math> \sigma \approx \pi r_0^2 \left({mc^2\over E}\right) \left(\ln{2E\over mc^2} + {1\over 2}\right)</math>

Denne variasjonen med energien til den innkommende strålingen ble i løpet av få år senere verifisert ved målinger utført først av den østerrikske fysiker [[Lise Meitner]] og hennes gruppe.

Ved observasjon av elektronet som blir slått til siden, kan man også måle sannsynligheten ''d&sigma;/dT'' for at dette skal skje hvor ''T = E - E'&thinsp;'' er den kinetiske energien for dette elektronet. Nå er ''d&Omega;/dT = - 2&pi;&thinsp;d''&thinsp;cos''&theta;/dT'' hvor cos''&theta; = 1 - mc<sup>2</sup>(1/E' - 1/E)'' fra [[Compton-effekt|Comptons formel]] uttrykt ved energier i stedet for ved bølgelengder. Derfor er ''d''&thinsp;cos''&theta;/dT = mc<sup>2</sup>/E'<sup>&thinsp;2</sup>'' og dermed blir

: <math> {d\sigma\over dT} = {d\sigma\over d\Omega} {d\Omega\over dT} = {d\sigma\over d\Omega} {2\pi mc^2\over(E - T)^2}  </math>

Det differensielle tverrsnittet ''d&sigma;/dT'' får derved et maksimum i nærheten av ''T &asymp; E&thinsp;''. Dette er kalt for «Compton-kanten» og stemmer med målinger.