Redigerer Boltzmann-fordeling (avsnitt)

===Boltzmanns entropi===
[[Fil:Boltzmann, Ludwig – Theorie der Gase mit einatomigen Molekülen, deren Dimensionen gegen die mittlere weglänge Verschwinden, 1896 – BEIC 10990650.jpg|thumb|200px|Forsiden av Boltzmanns forelesninger om gassteori, utgitt 1896.]]
I sitt arbeid med å forstå Maxwells hastighetsfordeling og hvordan den var kompatibel med [[termodynamikkens andre hovedsetning]], kunne Boltzmann forbinde et systems [[entropi]] ''S&thinsp;'' med antall [[mikrotilstand]]er ''W&thinsp;'' som det har tilgang til. Denne sammenhengen ble av [[Max Planck]] skrevet som

: <math> S = k_B \log W </math>

hvor man benytter den [[naturlig logaritme|naturlige logaritmen]]. Det var ved denne formelen han definerte Boltzmanns konstant. Da antall mikrotilstander prinsipielt kan beregnes også når systemet er ute av likevekt, kan formelen også forklare hvordan entropien hele tiden vokser ved at systemet søker mot en likevektstilstand inneholdende et maksimalt antall mikrotilstander.<ref name = Holton> G. Holton and S.G. Brush, ''Physics, the Human Adventure'', Rutgers University Press, New Jersey (2006). ISBN 0-8135-2908-5.</ref>

For et system av partikler med total energi ''E<sub>T</sub>&thinsp;'' vil sannnsynligheten ''p''(''E'') for at en partikkel har energien ''E&thinsp;'' i én bestemt mikrotistand, være proporsjonal med antall tilstander ''W''(''E<sub>T</sub>'' - ''E'') som forblir tilgjengelig for de resterende partiklene. Ved å benytte at ''E'' << ''E<sub>T</sub>'',  kan man knytte dette direkte til systemets entropi, 

: <math> \log W(E_T - E) = \log W(E_T) - {E\over k_BT} </math>

Dette følger fra den vanlige, [[Entropi#Andre hovedsetning|termodynamiske deriverte]] <math> \partial S/\partial U = 1/T. </math> Da den søkte sannsynligheten <math> p(E) \propto  W(E_T - E), </math> har man igjen resultatet

: <math> p(E) = {1\over Z} e^{- E/k_BT} </math>

Argumentet i eksponensialfunksjonen blir ved denne utledningen automatisk bestemt uten å måtte sammenligne med kinetisk teori for en ideell gass.<ref name = KK> C. Kittel and H. Kroemer, ''Thermal Physics'', W.H. Freeman and Company, San Fransisco (1980). ISBN 0-7167-1088-9.</ref>