Redigerer Bohrs atommodell (avsnitt)

== Stasjonære baner ==

Bohr hadde samme bilde av atomet som i [[Rutherfords atommodell]] hvor det bestod av en positivt ladet [[atomkjerne]] som ligger i ro og et eller flere elektroner i bundne baner omkring denne. Antar man at kjernen har ladningen ''Ze'' hvor ''e'' er [[elementærladning]]en og ladningstallet ''Z'', påvirkes dermed et elektron i avstand ''r'' av den radielle  [[Coulombs lov|Coulomb-kraften]]

:<math>F_C= \frac{Ze^2}{4 \pi \varepsilon_0 r^2} </math>

hvor 1/4''&pi;&thinsp;&epsilon;''<sub>0</sub>&thinsp; er [[Coulombs konstant]]. Denne gir opphav til en [[sentripetalkraft]] ''mv<sup>2</sup>/r'' hvor ''m'' er massen til elektronet og ''v'' dets hastighet. Med bare et elektron utenfor kjernen, må disse to kreftene være like store ifølge [[Newtons andre lov]]. Det betyr at den kinetiske og potensielle energien til elektronet er forbundne ved relasjonen

:<math>E_\text{kin} = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{Ze^2}{8 \pi \varepsilon_0 r} = -\frac{1}{2} E_\text{pot},</math>

som kun gjelder for en bevegelse styrt av [[Coulombs lov|Coulomb-kraften]]. Den totale energien for elektronet i banen er dermed {{nowrap|''E {{=}} E<sub>kin</sub> + E<sub>pot</sub> {{=}} E<sub>pot</sub>&thinsp;/2''}}. Dette er et eksempel på det klassiske [[virialteoremet]].

===Kvantisert radius===
Hvis man nå antar at banen er en sirkel med radius ''r'', vil elektronet ha [[dreieimpuls]]en ''L = mvr''. Bevegelsen blir kvantisert ved å sette {{nowrap|''L {{=}} nħ''}}. Det bestemmer hastigheten til elektronet å være {{nowrap|''v {{=}} nħ/mr''}}. Innsatt i uttrykket for den kinetiske energien, følger da radius 

:<math>  r_n = n^2 \frac{4 \pi \varepsilon_0\hbar^2}{Zme^2}.</math>

for denne sirkelbanen eller dette [[elektronskall]]et. For [[hydrogen]]atomet med ''Z'' = 1 har den innerste banen med hovedkvantetall {{nowrap|''n'' {{=}} 1}} derfor radius 

:<math>a_0 = r_{n = 1} = \frac{4 \pi \varepsilon_0 \hbar^2}{me^2} = 5{,}29177 \times 10^{-11}\mathrm{m}.</math>

Denne størrelsen omtales vanligvis som en '''Bohr-radius'''.  Størrelsen til et H-atom angitt ved diameteren er derfor omtrent {{nowrap|1&thinsp;Å {{=}} 10<sup>-10</sup>&thinsp;m {{=}} 100&thinsp;[[pm]]}} når elektronet er i den innerste banen. Dette er også karakteristisk størrelse for tyngre atomer enn hydrogen selv om de har større kjerneladning ''Z'' som gjør ''r<sub>0</sub>'' mindre. Men denne reduksjonen blir i stor grad kompensert ved at de ytterste elektronene er i skall med større verdier for hovedkvantetallet.

Ved å innføre [[finstrukturkonstant]]en

: <math> \alpha = {e^2\over 4 \pi \varepsilon_0 \hbar c} = {1\over 137,036\dots} </math> 

kan man skrive at Bohr-radius er  ''a<sub>0</sub> = &lambda;<sub>C</sub>/&alpha;'' ved hjelp av den reduserte [[Comptoneffekt|Compton-lengden]] {{nowrap|''&lambda;<sub>C</sub> {{=}} ħ/mc''}}. Generelt er radius for ''n''-te bane ''{{nowrap|r<sub>n</sub> {{=}} n<sup>2</sup>a<sub>0</sub>/Z}}'' og øker derfor raskt med hovedkvantetallet. Hastigheten i denne banen er ''{{nowrap|v<sub>n</sub> {{=}} cZ/n&alpha;}}''. For den innerste banen {{nowrap|''n'' {{=}} 1}} nærmer dette seg [[lyshastigheten]] for atomer med kjerneladning 100 eller mer. Da blir [[spesiell relativitetsteori|relativistiske effekter]] viktige. Spesielt kritisk kan det bli for {{nowrap|''Z'' {{=}} 137}}.