Redigerer Bidomene-modellen (avsnitt)

==Matematisk modell==
===Standardformulering===
Bidomene-ligningene er gitt ved
:<math>
\begin{alignat}{2}
\nabla \cdot \left( M_i \nabla v \right) + \nabla \cdot \left( \left( M_i + M_e \right) \nabla v_e \right) & = 0 \\
\nabla \cdot \left(M_i \nabla v \right) + \nabla \cdot \left(M_i \nabla v_e \right) & = \chi \left( C_m \frac{\partial v}{\partial t} + I_\mathrm{ion} \right)
\end{alignat}
</math>
der <math>\chi</math> angir [[cellemembran]]ens overflateareal, per enhetsvolum, <math>C_m</math> cellemembranens elektriske [[kapasitans]] per enhetsareal, <math>v=v_i-v_e</math> er <math>v_i</math> den intracellulære spenningen og <math>v_e</math> den ekstracellulære spenningen, og <math>I_\mathrm{ion}</math> ionestrømmen over membranen per enhetsareal.<ref name="sundnes" />

Sammen med gitte randbetingelser kan man løse disse ligningene over et gitt domene [[numerisk analyse|numerisk]].<ref name="sundnes" />

===Utledning===
La <math>\Omega</math> med rand <math>\partial \Omega</math> betegne alle punkter <math>x</math> i hjertet. I hvert punkt i <math>\Omega</math> kan vi definere en intra- og ekstracellulær spenning, samt en intra- og ekstracellulær strøm, kalt henholdsvis <math>v_i</math>, <math>v_e</math>, <math>J_i</math> og <math>J_e</math>. [[Konduktans]]en i det intra- og ekstracellulære domenet er videre gitt ved <math>M_i</math> og <math>M_e</math>.

Vi antar at forholdet mellom strøm, spenning og konduktans er gitt ved [[Ohms lov]], hvilket gir
:<math>
\begin{alignat}{2}
J_i & = -M_i \nabla v_i \\
J_e & = -M_e \nabla v_e.
\end{alignat}
</math>

Vi antar at ladning ikke akkumuleres i noe enkeltpunkt i <math>\Omega</math> – så total ladning er alltid bevart – hvilket gir
:<math>
\nabla \cdot \left( J_i + J_e \right) = 0
</math>
som ved ligningene over kan skrives om til
:<math>
\nabla \cdot \left( M_i \nabla v_i \right) + \nabla \cdot \left( M_e \nabla v_e \right) = 0
</math>
Denne ligningen sier at all strøm som går ut fra ett domene (enten det ekstracellulære eller det intracellulære) må gå inn i det andre.<ref name="sundnes" />

Man kan anta at transmembranpotensialet, definert som <math>v = v_i - v_e</math>, er relatert til spenningsforskjellen ved
:<math>v = \frac{q_i - q_e}{2 \chi C_m}</math>
der <math>q_i</math> og <math>q_e</math> angir intra- og ekstracellulær ladning, <math>\chi</math> angir overflateareal per enhetsvolum og <math>C_m</math> cellemembranens kapasitans. Videre tar vi den tidsderiverte av dette, og antar vi at strømmen inn og ut av hvert domene er bevart. Fra dette kan vi utlede at
:<math>J_t = \chi \left( C_m \frac{\partial v}{\partial t} + I_\mathrm{ion} \right)</math>
hvilket kombinert gir
:<math>
\nabla \cdot \left( M_i \nabla v \right) + \nabla \cdot \left( M_i \nabla v_e \right) = \chi \left( C_m \frac{\partial v}{\partial t} + I_\mathrm{ion} \right)
.</math>
som er den andre bidomene-ligningen.<ref name="sundnes" /> 

===Konduktansverdier===
Konduktansverdiene i henholdsvis samme retning som fibrene, på tvers av disse og normalt på hvert lag er ulik; videre er disse igjen ulike i det intracellulære og ekstracellulære området. Dette kan modelleres ved hjelp av diagonale [[matrise]]r (annengrads [[tensor]]er), der konduktivitetsverdiene lokalt er angitt ved
:<math>
M_i = \begin{bmatrix}
\sigma_{fi} & 0 & 0 \\
0 & \sigma_{ti} & 0 \\
0 & 0 & \sigma_{ni} \end{bmatrix}
\qquad
M_e = \begin{bmatrix}
\sigma_{fe} & 0 & 0 \\
0 & \sigma_{te} & 0 \\
0 & 0 & \sigma_{ne} \end{bmatrix}
</math>,
der <math>\sigma_{ij}</math> angir konduktivitetverdi i henholdsvis retning <math>\mathbf{e_f}, \mathbf{e_t}, \mathbf{e_n}</math> (i retning fibrene, på tvers, normalt) for <math>j \in {i, e}</math> (intracellulært, ekstracellulært).<ref name="sundnes" /> Dette er lokale verdier som må omregnes til globale verdier ut fra vektorfeltet som definerer fibrenes geometri i et gitt punkt.

Disse verdiene er skalare estimerte verdier, og ikke gitt direkte i originalformuleringen av bidomene-modellen. Forskning på dette antyder at forholdet mellom verdiene er gitt ved 4:2:1, men ulike artikler oppgir ulike konduktansverdier.<ref>{{kilde artikkel
|url=https://www.researchgate.net/publication/283583945_Six_Conductivity_Values_to_Use_in_the_Bidomain_Model_of_Cardiac_Tissue
|tittel=Six Conductivity Values to Use in the Bidomain Model of Cardiac Tissue
|forfatter=Barbara M. Johnston
|utgiver=IEEE Transactions on Biomedical Engineering
|doi=10.1109/TBME.2015.2498144}}</ref>

Ved å anta at konduktansverdiene er proporsjonale i det intra- og ekstracellulære domenet, altså at <math>M_i = \lambda M_e</math> for en skalarverdi <math>\lambda</math>, kan modellen reduseres til [[monodomene-modellen]].<ref name="sundnes" />

===Randbetingelser===
For å finne en løsning for ligningssettet over, må man angi [[randbetingelse]]r.<ref name="sundnes" /> Dersom man antar at domenet er omgitt av et isolerende medium, kan man modellere dette som
:<math>n \cdot J_i = 0 \qquad n \cdot J_e = 0</math>
der n er overflatens normalvektor, og ligningene angir at henholdsvis at den intracellulære og ekstracellulære strømmen er null på randen. Ved å bruke ligningene over kan dette skrives om til<ref name="sundnes" />
:<math>n \cdot (M_i \nabla v + M_i \nabla v_e) = 0 \qquad n \cdot (M_e \nabla v_e) = 0</math>