Redigerer Bølgepakke (avsnitt)

==Matematisk beskrivelse==
[[Fil:Wave packet.svg|left|thumb|Illustrasjon av lokalisert bølgepakke bestående av blåe bølger. Den røde, stiplete linjen er omhyllingskurven til pakken.]]
En enkelt bølgepakke kan bygges opp ved å kombinere et stort antall bølger som kun gir konstruktiv interferens i et lokalisert område. Dette området består da av en gruppe av høyfrekvente bølger som sammen beveger seg som et lokalisert objekt i tid og rom. Fasene mellom de forskjellige enkeltbølgene må da variere på en samstemt måte. Man antar da at [[bølgeligning]]en er lineær slik at når hver enkeltbølge oppfyller den, vil også enhver sum være en mulig løsning av denne. Vanligvis omtales denne egenskapen som [[superposisjonsprinsippet]].<ref name="Tipler">P.A.Tipler and R.A. Llewellyn, ''Modern Physics'', W. H. Freeman and Company, New York (2003). ISBN 0-7167-4345-0.</ref>

Generelt vil en slik superposisjon av bølger med diskrete bølgetall i en dimensjon gi den resulterende bølgen

: <math> y(x,t) = a \sum_k \cos(kx - \omega_kt + \phi_k) </math>

hvor ''φ<sub>k</sub>'' er fasefaktor for bølgen med bølgetallet ''k''. For en ikke-dispersiv bølge er ''ω<sub>k</sub> = ck''. Hvis bølgetallet tar kontinuerlige verdier, må summen erstattes med et integral. Da er det enklere å betrakte en [[komplekst tall|kompleks]] bølge som generelt kan skrives på formen

: <math> \psi(x,t) = \int{dk\over 2\pi} a(k)e^{i(kx - \omega(k)t)} </math>

hvor amplituden ''a''(''k'') i alminnelighet vil være kompleks. Også en reell bølge kan beskrives på denne måten ved å ta den reelle delen av resultatet etter integrasjonen. Denne matematiske formen tilsvarer å skrive bølgen som et [[Fouriertransformasjon|Fourier-integral]].

Amplituden  ''a''(''k'') varierer ikke med tiden og kan bestemmes for eksempel fra bølgens form ''ψ''(''x'', 0) ved tidspunktet ''t'' = 0. Ved å vende om Fourier-transformasjonen
finner man da

: <math> a(k) = \int dx\psi(x,0) e^{-ikx} </math>

som følger fra egenskaper ved [[Diracs deltafunksjon]].

===Gruppehastighet===
[[Fil:Wave group.gif|frame|Illustrasjon av en [[havbølge]] som er dispersiv. Det røde punktet beveger seg med fasehastigheten, mens det grønne punktet beveger seg langsommere med gruppehastighet og blir derfor etter hvert passert av det røde punktet.]]
I denne beskrivelsen vil en bølgepakke kunne fremstå når amplituden ''a''(''k'') er dominert av bølgetall i nærheten av en bestemt verdi ''k''<sub>0</sub>. Da vil verdien av hele integralet komme fra bidrag med slike bølgetall. Med den antagelsen kan man da skrive for vinkelfrekvensen

:<math> \omega(k) = \omega_0 + v(k - k_0) </math>

når man ser bort fra høyere ordens ledd. Her er ''ω''<sub>0</sub> =  ''ω''(''k''<sub>0</sub>) og

:<math> v = \left.\frac{\partial \omega(k)}{\partial k}\right|_{k=k_0} </math>

er [[gruppefart|gruppehastigheten]]. Det ser man ved å sette inn denne tilnærmelsen i integralet. Etter en liten omskrivning tar det da formen

:<math> \psi(x,t)= e^{i(k_0 x - \omega_0 t)}\int {dk\over 2\pi} \, a(k) e^{i(k - k_0)(x - vt)} </math>

Faktoren foran integralet beskriver nå en [[bølge#Plan bølge|plan bølge]] med bølgetall ''k''<sub>0</sub>, vinkelfrekvens ''ω''<sub>0</sub> og fasehastighet {{nowrap|''c'' {{=}} ''ω''<sub>0</sub>/''k''<sub>0</sub>}}. Selve integralet gir formen på omhyllingskurven til bølgepakken. Den varierer i tid og rom kun gjennom kombinasjonen ''x - vt'' som forklarer hvorfor ''v'' kan kalles pakke- eller gruppehastigheten.

For en dispersiv bølgeligning vil både fasehastigheten og gruppehastigheten  variere med bølgetallet på forskjellig vis. Enkeltbølgene som utgjør bølgepakken, vil derfor med tiden ikke  bevege seg i takt med den slik at etter hvert vil pakken forandre form og vanligvis spredes ut til en jevnere fordeling av bølgefeltet.

===Eksempel: Kvadratisk bølgepakke===

En kvadratisk bølgepakke som ved tiden ''t'' = 0 har sitt senter i origo og som inneholder kun et bølgetall ''k''<sub>0</sub>, har et utslag

: <math> \psi(x,0)  = e^{ik_0x} </math>

for |''x''&thinsp;| < ''L'' og null ellers hvor 2''L'' er dens fulle  utstrekning. Når ''k''<sub>0</sub> = 0, går denne bølgepakken over i det som heller kalles en «puls». Den Fourier-transformerte amplituden er nå

: <math> a(k) = \int_{-L}^{L} dx e^{i(k_0 - k)x} = 2{\sin(k - k_0)L\over k - k_0} </math>

som er en funksjon av ''k'' som har et skarpt maksimum for ''k'' =  ''k''<sub>0</sub>. Hvordan denne pakken beveger seg med tiden, avhenger av vinkelfrekvensen ''ω''. Er der ingen dispersjon, er ''ω'' = ''ck'' slik at gruppehastigheten er lik med fasehastigheten ''c''. Innsatt i det fulle integralet for bølgepakken, finner man da som forventet resultatet

: <math> \psi(x,t)  = e^{ik_0(x - ct)} </math>

så lenge |''x - ct''&thinsp;| < ''L'' og null ellers. Den kvadratiske bølgepakken forflytter seg derfor uforandret med den konstante hastigheten ''c''. Med dispersjon hadde man funnet et ganske annet resultat avhengig av den nøyaktige formen på dispersjonsrelasjonen ''ω'' = ''ω''(''k'').

Alternativt kan kan en tilsvarende, kvadratisk bølgepakke defineres ved å anta at amplituden i ''k''-rommet har en rektangulær form sentrert rundt verdien ''k''<sub>0</sub>. Det vil si at denne amplituden er {{nowrap|''a''(''k'') {{=}} 1}} kun når |''k'' - ''k''<sub>0</sub>| < Δ''k'' og null ellers. Ved integrasjon finner man da ved tiden ''t'' = 0 bølgen

: <math> \psi(x,0)  = e^{ik_0x}  {\sin\Delta kx\over\pi x}</math>

Bølgepakken har derfor en oscillerende form konsentrert om punktet ''x'' = 0. Er den underliggende bølgeligning ikke-dispersiv, vil denne pakken forflytte seg med konstant form og hastighet ''c'' hvormed  bølgefunksjonen ''ψ''(''x,t'') ved et senere tidspunkt  ''t'' > 0 finnes ved substitusjonen ''x'' → ''x'' - ''ct&thinsp;'' i funksjonen ''ψ''(''x'',0).