Redigerer Bølgefunksjon (avsnitt)

===Sannsynlighetstetthet===
For én partikkel som beveger seg i tre dimensjoner med koordinater '''x''' = (''x''<sub>1</sub>,''x''<sub>2</sub>,''x''<sub>3</sub>) er bølgefunksjonen en kompleks funksjon <math> \psi = \psi(\mathbf{x},t) </math> som generelt også varierer med tiden ''t''. Sannsynligheten for å observere partikkelen i et liten volumelement ''d''<sup>&thinsp;3</sup>''x&thinsp;'' ved tiden ''t&thinsp;'' er definert som 

: <math> dP = \Psi^*\Psi\, d^3x </math>

Av denne grunn er det naturlig å omtale produktet |&Psi;&thinsp;|<sup>2</sup>  som en «sannsynlighetstetthet». Da partikkelen befinner seg et eller annet sted, må derfor bølgefunksjonen oppfylle kravet

: <math> \int\!d^3x\, \Psi^*\Psi = 1 </math>

Integralet går her over hele rommet og inkluderer også områder av dette hvor partikkelen klassisk ikke kan befinne seg. Dette kravet kalles oftest for  et «normeringsintegral».<ref name= Griffiths>D.J. Griffiths, ''Quantum Mechanics'', Pearson Education International, Essex (2005). ISBN  1-292-02408-9.</ref>

Hvis partikkelen befinner seg i en tilstand med en viss energi ''E'', er den i en [[egenvektor|egentilstand]] av [[Hamilton-operator]]en. Ifølge den tidsavhengige [[Schrödinger-ligning]]en vil den da variere med tiden som

: <math> \Psi(\mathbf{x},t) =  \psi(\mathbf{x})e^{-iEt/\hbar} </math>

der ''ħ&thinsp;'' er den reduserte [[Plancks konstant|Planck-konstanten]]. Sannsynlighetstettheten vil i dette tilfellet bare variere med posisjonen til partikkelen. Men når partikkelen er i en [[Schrödinger-ligning#Superposisjon|superposisjon]] av flere slike egenfunksjoner med forskjellige energier, vil sannsynlighetstettheten forandre seg med tiden.