Redigerer Apollonios’ sirkel (avsnitt)

===Inversjonssirkel===

Apollonios-sirkelen har sitt sentrum i ''M'' som er midtpunktet mellom punktene ''T<sub>i</sub>'' og ''T<sub>a</sub>''. Vinkelen ''MAX'' vil da være like stor som ''MXB'' fordi linjene ''XT<sub>i</sub>'' og ''XT<sub>a</sub>'' halverer de to vinklene i ''X''. De to trekantene ''MAX'' og ''MXB'' er derfor  likeformede da de har vinkelen ''AMX'' felles. Dermed er forholdene

: <math> {AX\over BX} =  \lambda = {MX\over MB} =  {MA\over MX} </math>

også like store.<ref name = Pedoe>D. Pedoe, ''A Course of Geometry for Colleges and Universities'', Cambridge University Press, London (1970). ISBN 0-521-07638-2.</ref>

Ved divisjon av de to siste forholdene følger at

: <math> MA\cdot MB = MX^2 </math>

De to gitte punktene ''A'' og ''B'' er  derfor [[sirkelinversjon|inverse]] av hverandre relativt til deres Apollonios-sirkel med radius {{nowrap|''r'' {{=}} ''MX''}}.

Størrelsen til denne radius kan finnes ved å multipliseres de to siste forholdene sammen. Det resulterer i at {{nowrap|''MA''/''MB'' {{=}} ''&lambda;''<sup>2</sup>}}. Hvis lengden av det gitte linjestykket {{nowrap|''AB'' {{=}} ''a''}}, vil da {{nowrap|''MB'' {{=}} ''a''&thinsp;/(''&lambda;''<sup>2</sup> - 1)}} når {{nowrap|''&lambda;'' > 1}}. Radius i Apollonios-sirkelen er dermed {{nowrap|''r'' {{=}} ''a&lambda;''&thinsp;/(''&lambda;''<sup>2</sup> - 1)}}.  Denne blir uendelig stor i det spesielle tilfellet at {{nowrap|''&lambda;'' {{=}} 1}} og sirkelen degenerer til en rett linje som står vinkelrett på ''AB'' og halverer den.