Redigerer Ampères kraftlov (avsnitt)

==Strømsløyfer==

Under stasjonære forhold sier [[kontinuitetsligning]]en for [[elektrisk strøm]] gjennom en ledning at den beveger seg i en sløyfe som danner en lukket [[kurve]]. Kalles den ''C''<sub>1</sub> og fører strømmen ''I''<sub>&thinsp;1</sub>, uttrykker Ampères kraftlov hvordan denne blir påvirket av strømmen ''I''<sub>&thinsp;2</sub> i en annen, lukket sløyfe ''C''<sub>2</sub>.
Ifølge [[Biot-Savarts lov]] er det magnetiske feltet i et punkt '''r'''<sub>1</sub> skapt av denne strømmen ''I''<sub>&thinsp;2</sub> gitt ved [[integral#Linjeintegral|linjeintegralet]]

: <math> \mathbf{B}(\mathbf{r}_1) = \frac{\mu_0 I_2}{4\pi} \oint_{\!C_2}\! {d\mathbf{s}_2\times (\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2)\over |\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2|^3} </math>

hvor posisjonsvektoren '''r'''<sub>2</sub> angir punkt langs kurven ''C''<sub>2</sub> som består av differensielle linjestykker ''d''&thinsp;'''s'''<sub>2</sub>. Den totale, magnetiske kraften på strømmen ''I''<sub>&thinsp;1</sub> i sløyfen ''C''<sub>1</sub> er dermed

: <math> \mathbf{F}_1 = I_1 \oint_{\!C_1}\! d\mathbf{s}_1\times\mathbf{B}(\mathbf{r}_1) = \frac{\mu_0 }{4\pi}I_1I_2 \oint_{\!C_1} \! \oint_{\!C_2} \! {d\mathbf{s}_1\times [d\mathbf{s}_2\times (\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2)]\over |\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2|^3} </math>

hvor posisjonene angitt ved vektoren '''r'''<sub>1</sub> beskriver denne kurven. Det dobbelte vektorproduktet i telleren kan nå forenkles vd å bruke identiteten

: <math> \mathbf{A}\times(\mathbf{B}\times\mathbf{C}) = (\mathbf{A}\cdot\mathbf{C})\mathbf{B} - (\mathbf{A}\cdot\mathbf{B})\mathbf{C} </math>

Ved å innføre den relative posisjonsvektoren '''r''' = '''r'''<sub>1</sub> - '''r'''<sub>2</sub>, splittes dermed dobbeltintegralet i to deler,

: <math> \mathbf{F}_1 = \frac{\mu_0 }{4\pi}I_1I_2 \oint_{\!C_1} \! \oint_{\!C_2} \!\left({(d\mathbf{s}_1\cdot\mathbf{r})d\mathbf{s}_2\over r^3} - {(d\mathbf{s}_1\cdot d\mathbf{s}_2)\mathbf{r}\over r^3} \right)</math>

Men her vil den første delen gi null etter integrasjonen rundt ''C''<sub>1</sub>. Det følger fra observasjonen at

: <math> {d\mathbf{s}_1\cdot\mathbf{r}\over r^3} = - d\mathbf{s}_1\cdot\boldsymbol{\nabla}_1 \left({1\over r}\right)</math>

slik at det er et eksakt differensial som gir null under integrasjon rundt en lukket kurve. Det endelige resultatet for den magnetiske kraften som virker på strømsløyfe ''C''<sub>1</sub> blir dermed

: <math> \mathbf{F}_1 = - \frac{\mu_0 }{4\pi}I_1I_2 \oint_{\!C_1} \! \oint_{\!C_2} \!\ (d\mathbf{s}_1\cdot d\mathbf{s}_2)\, {\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2 \over |\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2|^3} </math>

Dette kan sies å være den moderne utgave av Ampères lov for kraften mellom strømførende kretser.<ref name="Zangwill">A. Zangwill, ''Modern Electrodynamics'', Cambridge University Press, Cambridge (2013). ISBN 978-0-521-89697-9.</ref> Den er symmetrisk i de to strømmene og oppfyller [[Newtons lover|Newtons tredje lov]], {{nowrap|'''F'''<sub>1</sub> {{=}} - '''F'''<sub>2</sub>}}. Det vil si at den magnetiske kraften som strømmen ''I''<sub>&thinsp;2</sub> utøver på strømmen ''I''<sub>&thinsp;1</sub> er like stor og motsatt rettet som kraften som virker på ''I''<sub>&thinsp;2</sub> forårsaket av ''I''<sub>&thinsp;1</sub>.

Fra samme formel følger også at en strømførende sløyfe ikke blir utsatt for noen kraft av magnetfeltet som den selv skaper. Det tilsvarer at en elektrisk ladningsfordeling ikke blir påvirket av sitt eget elektriske felt.

===Parallelle ledninger===

En uendelig lang, rett ledning kan betraktas som en del av en lukket kurve hvor strømmen kommer tilbake til utgangspunktet langs en del om ligger uendelig langt vekk og derfor ikke bidrar på noen måte. Hvis man betrakter to slike parallelle ledninger med gjensidig avstand ''a'', kan kraften nå lett finnes fra den generelle formelen som viser at den ligger i planet med ledningene og står vinkelrett på disse. Nå vil man ha |'''r'''<sub>1</sub> - '''r'''<sub>2</sub>| = (''a''<sup>2</sup> + ''s''<sub>2</sub><sup>2</sup>)<sup>1/2</sup> og {{nowrap|(''d''&thinsp;'''s'''<sub>1</sub>&sdot;''d''&thinsp;'''s'''<sub>2</sub>) {{=}} ''ds''<sub>1</sub>&thinsp;''ds''<sub>2</sub>}}. Kraften mellom ledningene følger da fra dobbeltintegralet

: <math> F_1 =  \frac{\mu_0 }{4\pi}I_1I_2 \int_{-\infty}^\infty\!ds_1 \int_{-\infty}^\infty\!ds_2 {a\over (a^2 + s_2^2)^{3/2}} </math>

som er attraktiv når begge strømmene har samme retning. Den første integrasjonen er proporsjonal med lengden ''L'' av ledningen, mens den andre følger fra det [[Integral|ubestemte integralet]]

: <math> \int {dx\over (a^2 + x^2)^{3/2}} = {1\over a^2}{x\over (a^2 + x^2)^{1/2}} </math>

Resultatet kan uttrykkes ved kraft per lengdeenhet som er

: <math> {F_1\over L} = {\mu_0 I_1I_2\over 2\pi a} </math>

i overensstemmelse med beregningen basert på det skapte magnetfeltet.