Redigerer Affin geometri (avsnitt)

==Koordinatsystem==

Da det ikke eksisterer noen [[rett vinkel|rette vinkler]] i et [[affint rom]], kan man ikke benytte et [[kartesisk koordinatsystem]] til å stedfeste punkter i rommet. Men da alle punkter kan angis i forhold til et endelig antall referansepunkter, er det likevel mulig å koordinatisere dette rommet på andre måter.  For det ''n''-dimensjonale, affine rommet '''A'''<sup>''n''</sup> behøver man {{nowrap|''n'' + 1}} slike referansepunkt. Det tilsvarer at det kan inneholde maksimalt ''n'' lineært uavhengige vektorer.

Et vilkårlig punkt ''X'' på linjen gjennom ''P'' og {{nowrap|''Q {{=}} P'' + '''v'''&thinsp;}} vil i alminnelighet kunne skrives som {{nowrap|''X {{=}} P'' + ''t'''v''&thinsp;'''}}. Har parameteren ''t&thinsp;'' verdien {{nowrap|''t'' {{=}} 0}}, gir dette utgangspunktet ''P'', mens for {{nowrap|''t'' {{=}} 1}} finner man punktet ''Q''. Er derimot {{nowrap|''t'' > 1}}, ligger punktet ''X'' utenfor ''Q'', mens for {{nowrap|''t'' < 0&thinsp;}} ligger det utenfor ''P''. Da {{nowrap|'''v''' {{=}} ''Q - P''}}, har man sammenhengen 

: <math> X = P + t(Q - P) = (1 - t) P + t Q </math>

mellom disse punktene. Parameteren ''t'' bestemmer derfor posisjonen til  punktet ''X'' og kalles dets ''koordinat'' langs linjen.

===Affine koordinater===
[[Fil:AffineSpace-4.jpg|thumb|200px|Hvert punkt ''X'' på en linje mellom to referansepunkt ''P'' og ''Q'' kan angis ved en posisjonsvektor fra et [[origo]] ''O''.]]
I stedet for å omtale abstrakte punkter, kan man også angi deres posisjon ved vektorer. Til det trenges et felles referansepunkt ''O'' som da vil være et [[origo]] til koordinatsystemet. Punktet ''P'' er forskjøvet fra dette med en vektor {{nowrap|'''r'''<sub>''P''</sub> {{=}} ''P - O&thinsp;''}} som er dets ''posisjonsvektor''.  Defineres på samme måte posisjonsvektorene '''r'''<sub>''Q''</sub>&thinsp; og  '''r'''<sub>''X''</sub>, kan da punkter på linjen gjennom  ''P'' og ''Q&thinsp;'' skrives som

: <math> \mathbf{r}_X = \lambda_1\mathbf{r}_P + \lambda_2\mathbf{r}_Q </math>

hvor koeffisientene (''&lambda;''<sub>1</sub>, ''&lambda;''<sub>2</sub>) = (1 - ''t'', ''t''). De omtales som de affine koordinatene til punktet ''X'' og tilfredsstiller {{nowrap|''&lambda;''<sub>1</sub> + ''&lambda;''<sub>2</sub> {{=}} 1}}. Samtidig er de ekvivalente med normaliserte, [[barysentriske koordinater]] til ''X'' da dette punktet kan betraktes som [[massesenter]]et for en masse ''&lambda;''<sub>1</sub>&thinsp; plassert i punktet ''P'' og en masse  ''&lambda;''<sub>2</sub>&thinsp; plassert i punktet ''Q''. De to gitte punktene ''P&thinsp;'' og ''Q'' har henholdsvis de barysentriske koordinatene (1,0)&thinsp; og (0,1), mens deres midtpunktet er gitt som {{nowrap|(1/2,1/2)}}.

Tre referansepunkt ''P''<sub>1</sub>, ''P''<sub>2</sub>&thinsp; og ''P''<sub>3</sub> som ikke ligger på samme linje, kan betraktes som hjørnene i en [[trekant]] og definerer dermed et plan. På tilsvarende måte vil da hvert punkt i dette planet kunne skrives som

: <math> P = \lambda_1 P_1 + \lambda_2P_2 + \lambda_3 P_3</math>

hvor de affine koordinatene (''&lambda;''<sub>1</sub>, ''&lambda;''<sub>2</sub>, ''&lambda;''<sub>3</sub>) oppfyller betingelsen {{nowrap|''&lambda;''<sub>1</sub> + ''&lambda;''<sub>2</sub> + ''&lambda;''<sub>3</sub> {{=}} 1}}. For gitte verdier av disse koordinatene kan det tilsvarende punktet finnes ved å beregne [[tyngdepunkt]]et for de tre gitte punktene med disse massene. Punkter innen [[trekant]]en som har de tre punktene som hjørner, har alle tre koordinater postive. For punkter utenfor er minst en av dem negativ. De tre hjørnene har henholdsvis  koordinatene (1,0,0), (0,1,0) og (0,0,1). Punkter på siden av trekanten som ligger motsatt punktet  ''P''<sub>1</sub>, har alle ''&lambda;''<sub>1</sub> = 0&thinsp;. Likedan har punkter som ligger på linjer parallelle til sidekanten motsatt ''P''<sub>1</sub>, samme verdi for koordinaten ''&lambda;''<sub>1</sub>. Det samme gjelder for de andre hjørnene i trekanten og linjer parallelle med deres motsatte sider.

I affine rom med høyere dimensjoner kan slike barysentriske koordinater innføres på tilsvarende måte.

===Vektorkomponenter===

For punkter i et affint plan er det bare to uavhengige, barysentriske koordinater da {{nowrap|''&lambda;''<sub>3</sub> {{=}} 1 - ''&lambda;''<sub>1</sub> + ''&lambda;''<sub>2</sub>}}. Hvert punkt ''P'' i planet kan derfor skrives som {{nowrap|''P'' {{=}} ''P''<sub>3</sub> + ''&lambda;''<sub>1</sub>(''P''<sub>1</sub> - ''P''<sub>3</sub>) + ''&lambda;''<sub>2</sub>(''P''<sub>2</sub> - ''P''<sub>3</sub>)}}. Her kan nå vektorene {{nowrap|'''v'''<sub>1</sub> {{=}} ''P''<sub>1</sub> - ''P''<sub>3</sub>&thinsp;}} og  {{nowrap|'''v'''<sub>2</sub> {{=}} ''P''<sub>2</sub> - ''P''<sub>3</sub>&thinsp;}} betraktes som to [[vektorrom|basisvektorer]] i det affine planet. Ved å innføre posisjonsvektoren {{nowrap|'''v''' {{=}} ''P'' - ''P''<sub>3</sub>&thinsp;}}, er posisjonen til hvert punkt gitt ved vektoren

: <math> \mathbf{v} = \lambda_1\mathbf{v}_1 + \lambda_2\mathbf{v}_2  </math>

hvor det tredje referansepunktet ''P''<sub>3</sub>&thinsp; opptrer som et [[origo]]. På denne måten er hvert punkt nå gitt ved de to koordinatene {{nowrap|''(&lambda;<sub>1</sub>, &lambda;<sub>2</sub>)''}}. De kan ta alle verdier uavhengig av hverandre og kalles vektorens ''komponenter'' i dette koordinatsystemet. De kan også innføres på samme måte i [[affint rom|affine rom]] med høyere dimensjoner.