Redigerer Plancks strålingslov (avsnitt)

==Kvantisering av strålingen==

Einsteins utledning av strålingstettheten var basert på Plancks opprinnelige formel som uttrykte den ved den midlere energien for de materielle oscillatorene som til da var antatt å beskrive atomene i veggene som omsluttet strålingen. De fleste var klar over at en slik oscillatormodell for et atom ikke kunne være riktig. Derfor var det viktig å finne en utledning som var uavhengig av denne antagelsen.

===Elektromagnetiske moder===

Dette ble gjort av den nederlandske fysikeren [[Peter Debye]] i [[1910]].<ref>P. Debye, ''Der Wahrscheinlichkeitsbegriff in der Theorie der Strahlung'', Annalen der Physik '''33''', 1427-1434 (1910).</ref>  Han tok utgangspunkt i selve strålingsfeltet på samme måte som [[John William Strutt]] (lord Rayleigh) hadde gjort ved utledningen av sin [[Rayleigh-Jeans' strålingslov|strålingslov]]. Det [[elektrisk felt|elektriske feltet]] '''E'''(''x,y,z,t'') til strålingen må oppfylle [[Gauss' lov]] {{nowrap|'''&nabla;'''&sdot;'''E''' {{=}} 0}} samtidig som det må stå normalt på veggene til volumet ''V'' som inneslutter strålingen. Er dette en kube med sidekant ''L'' slik at  {{nowrap|''V''{{=}} ''L''<sup>3</sup>}}, betyr det at for eksempel at komponenten ''E<sub>z</sub>'' må være null på de fire sidene {{nowrap|''x'' {{=}} 0,''L''}} og  {{nowrap|''y'' {{=}} 0,''L''}} til kuben som er parallelle med ''z''-aksen. Samtidig kan man ut fra symmetri anta at denne komponenten av feltet har samme verdi på sidene {{nowrap|''z'' {{=}} 0,''L''}}. Derfor vil den tillatte formen av denne funksjonen være

: <math> E_z(x,y,z,t) = E_{0z}(t)\sin{\pi xn_x\over L}\sin{\pi yn_y\over L}\cos{\pi zn_z\over L}  </math>

hvor de hele tallene {{nowrap|'''n''' {{=}} (''n<sub>x</sub>, n<sub>y</sub>, n<sub>z</sub>'')}} karakteriserer hver slik løsning eller '''mode''' og ''E''<sub>0''z''</sub>(''t'') er en ennå ubestemt funksjon. De to andre komponentene ''E<sub>x</sub>'' og ''E<sub>y</sub>'' vil kunne skrives på tilsvarende måte. Det følger da direkte at [[nabla-operator|divergensen]] {{nowrap|'''&nabla;'''&sdot;'''E''' {{=}} 0}} hvis alle tre komponentene inneholder de samme modetallene og '''n'''&sdot;'''E'''<sub>0</sub> = 0 hvor vektoren {{nowrap|'''E'''<sub>0</sub>(''t'') {{=}} (''E''<sub>0''x''</sub>, ''E''<sub>0''y''</sub>, ''E''<sub>0''z''</sub>)}}. Den står derfor normalt på vektoren '''n''' og har derfor kun to uavhengige retninger i hver mode. Disse tilsvarer de to polarisasjonsretningene til et [[foton]].

===Feltoscillatorer===

Det variable elektriske feltet i strålingen er koblet sammen med det [[magnetisk felt|magnetiske feltet]] gjennom [[Maxwells ligninger]]. Som en direkte konsekvens må hver komponent oppfylle den elektromagnetiske [[bølgeligning]]en

: <math> \nabla^2 \mathbf{E} - {1\over c^2} {\partial^2\mathbf{E}\over \partial t^2} = 0 </math>

hvor ''c'' er [[lyshastigheten]]  og  &nabla;<sup>2</sup> er [[nabla-operator|Laplace-operatoren]]. Benytter man her den funne formen til hver av komponentene, reduserer denne ligningen seg til

: <math> \left({d^2\over dt^2} + \omega^2\right)\!\mathbf{E}_0 (t) = 0 </math>

ved å innføre størrelsen {{nowrap|''&omega;<sup>2</sup> {{=}} (&pi;c/L)<sup>2</sup>'''n&sdot;n'''''}}. Denne ligningen er nå ikke noe annet enn bevegelsesligningen for en [[harmonisk oscillator]] med [[vinkelfrekvens]]e ''&omega;''. Hver mode av det elektromagnetiske feltet varierer derfor med tiden akkurat som de harmoniske svingningene til en oscillator.

Det er viktig å være klar over at disse  ''feltoscillatorene'' er noe ganske annet enn de tidligere, materielle oscillatorene som man antok fantes i veggene til beholderen. Disse er mer abstrakte, men følger direkte fra de fundamentale ligningene til [[Maxwell]]. I motsetning til de materielle oscillatorene som var lokaliserte i veggene, kan man ikke si hvor i rommet disse feltoscillatorene befinner seg. Femten år senere vil dette bli forstått som et uttrykk for [[Heisenbergs uskarphetsrelasjon]].

Energien til en strålingsoscillator er nå gitt ved samme uttrykk som Einstein hadde funnet for en materiell oscillator. Hver mode av feltet har en energi som er et helt antall multiplisert med ''h&nu;'' hvor {{nowrap|''&nu; {{=}} &omega;/2&pi;''}} er frekvensen til oscillatoren. Det gir den samme, midlere energien ved temperaturen ''T''. Antall slike feltoscillatorer per volumenehet var tidligere funnet ved utledningen av [[Rayleigh-Jeans' strålingslov]] å være ''8&pi;&nu;<sup>2</sup>/c<sup>3</sup>''. På den måten fant Debye resultatet

:<math>u_\nu(T) = \frac{8\pi\nu^2 }{c^3} \frac{h\nu}{e^{h\nu /k_BT} - 1}  </math>

for den termiske energitettheten til strålingen. Og dette er akkurat Plancks lov. Den er beregnet uten usikre antagelser om egenskapene til materialet i veggene som omslutter strålingen, noe som Debye la vekt på ved sin nye utledning.

Denne beregningen av strålingsenergien er den som normalt i dag blir brukt i undervisning og presentert i lærebøker. Den er tett opp til den mer moderne utledningen  ved bruk av [[kvantefeltteori]] som ligger bak [[Bose-Einstein statistikk]]. Det er først en slik fullstendig beregning som også tillater å finne Einsteins fluktuasjonsformel.