Redigerer Den spesielle relativitetsteorien (avsnitt)

==Elektromagnetisme==
[[Elektromagnetisme|Elektromagnetisk teori]] basert på [[Maxwells ligninger]] var et av grunnelementene i Einsteins spesielle relativitetsteori som ble presentert i arbeidet med tittel  «Zur Elektrodynamik bewegter Körper» eller ''Elektrodynamikk for legemer i bevegelse''. Som alle mekaniske lover skulle også de elektromagnetiske ligningene til Maxwell være de samme i alle inertialsystem. Derav følger direkte at lyshastigheten må være den samme og uavhengig av lyskildens eventuelle hastighet. På samme måte som Lorentz-transformasjonen skaper en sammenheng mellom energi og impuls i forskjellige inertialsystem, vil den på tilsvarende måte forbinde elektriske og magnetiske fenomen avhengig av observatørens hastighet.<ref name = Resnick/> 

===Lorentz-transformasjon av elektromagnetiske felt===

[[Faradays lov]] forbinder det [[elektrisk felt|elektriske feltet]] '''E'''('''x''',''t'')  med det [[magnetisk felt|magnetiske feltet]] '''B'''('''x''',''t'') som kan uttrykkes ved Maxwell-ligningen

: <math>\boldsymbol\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}</math> 

Hvis man benytter et annet, inertielt  referansesystem, må loven der ha samme form uttrykt ved koordinatene som benyttes i det systemet. Beveger det seg langs ''x''-aksen med hastighet ''v'', er sammenhengen mellom koordinatene i de to systemene gitt ved Lorentz-transformasjonen

: <math> x' = \gamma(x - vt) , \;\;\; t' = \gamma(t  - xv/c^2) </math>

og som lar de transverse koordinatene ''y'' og ''z'' forbli uforandret. For at Maxwell-ligningen i det merkete systemet skal ha samme form, må de tilsvarende feltene '''E''''('''x'''',''t'&thinsp;'') og '''B''''('''x'''',''t'&thinsp;'') som observeres der, kunne relateres på en lignende måte til feltene i det stasjonære systemet. Det kan man finne ut ved å uttrykke Maxwell-ligningen ved koordinatene i det merkete systemet. Ved bruk av [[derivasjon|kjerneregelen]] finner man da de to partialderiverte blir

: <math>{\partial\over\partial x} = {\partial x'\over\partial x}{\partial\over\partial x'} + {\partial t'\over\partial x}{\partial\over\partial t'} = \gamma\Big({\partial\over\partial x'} - {v\over c^2}{\partial\over\partial t'}\Big), </math>

: <math>{\partial\over\partial t} = {\partial x'\over\partial t}{\partial\over\partial x'} + {\partial t'\over\partial t}{\partial\over\partial t'} = \gamma\Big({\partial\over\partial t'} - v{\partial\over\partial x'}\Big), </math>

mens de deriverte i ''y''- og ''z''-retningene forblir uforandret. Hvis man så betrakter ''z''-komponenten av Maxwell-ligningen som er

: <math> {\partial E_y\over\partial x} - {\partial E_x\over\partial y} = - {\partial B_z\over\partial t}, </math>

så forandres den til

: <math> \gamma {\partial\over\partial x'}\Big(E_y - v B_z\Big) - {\partial E_x\over\partial y'} =  -\gamma {\partial\over\partial t'}\Big(B_z - {v\over c^2} E_y\Big) </math>

Sammenligner man dette uttrykket med den formen den opprinnelige ligningen må ha i det merkete systemet, kan man lese ut de transformerte komponentene ''E'<sub>x</sub>'',  ''E'<sub>y</sub>'' og  ''B'<sub>z</sub>''. På samme måte finnes transformasjonen for noen av de andre feltkomponentene fra ''x''- og ''y''-komponentene av Maxwell-ligningen. 

En tilsvarende omskriving kan så gjennomføres for den andre Maxwell-ligningen {{nowrap|'''&nabla;'''&thinsp;&times;&thinsp;'''H''' {{=}}  &part;'''D'''/&part;''t&thinsp;''}} der {{nowrap|'''B''' {{=}} ''&mu;''<sub>0</sub>'''H'''&thinsp;}} og {{nowrap|'''D''' {{=}} ''&epsilon;''<sub>0</sub>'''E'''}} i [[vakum]]. Her er den kvadrerte [[lyshastigheten]] nå gitt som {{nowrap|''c''<sup>2</sup> {{=}} 1/''&epsilon;''<sub>0</sub>''&mu;''<sub>0</sub>}}. Dermed finner man for alle seks feltkomponenter resultatet

:<math>\begin{align}
  E'_x &= E_x                               & \qquad B'_x &= B_x \\
  E'_y &= \gamma \left( E_y - v B_z \right) &        B'_y &= \gamma \left( B_y + \frac{v}{c^2} E_z \right) \\
  E'_z &= \gamma \left( E_z + v B_y \right) &        B'_z &= \gamma \left( B_z - \frac{v}{c^2} E_y \right). \\
\end{align}</math>

De tilsvarende ligningene for den inverse transformasjonen finnes herfra ganske enkelt ved å la hastigheten ''v'' skifte fortegn.  Elektriske og magnetiske felt blandes derfor sammen ved en slik transformasjon. Hva som er et elektrisk felt i et inertialsystem, kan gi opphav til et magnetisk felt i et annet system.

===Bevegelsesindusert spenning===
[[Elektromagnetisk induksjon|Indusert]], [[elektromotorisk spenning]] i en [[strømkrets]] skjer enten når den [[magnetisk fluks|magnetiske fluksen]] gjennom kretsen forandrer seg ved at [[magnetfelt]]et varierer med tiden eller at kretsen beveger i feltet. I dette siste tilfellet kan magnetfeltet også være konstant og den induserte spenningen kan forklares som et resultat av relativitetsteorien.<ref name = Resnick/>

Når en [[elektrisk leder]] beveger seg med konstant hastighet '''v''' gjennom et magnetfelt '''B''', vil det i lederens hvilesystem måles et magnetfelt '''B'&thinsp;''' og et elektrisk felt '''E'&thinsp;'''.
Betegner man komponentene av feltene som er langs retningen til hastigheten med indeksen ''L&thinsp;'' for [[langsgående akse|longitudinal]] og de som er [[vinkelrett]] med indeksen ''T&thinsp;'' for "transvers", sier transformasjonsligningene at magnetfeltet i lederens hvilesystem er  gitt som {{nowrap|'''B''''<sub>''L''</sub> {{=}}  '''B'''<sub>''L''</sub>}} og {{nowrap|'''B''''<sub>''T''</sub> {{=}} ''&gamma;''&thinsp;'''B'''<sub>''T''</sub>.}} Hvis dens hastighet er liten slik at {{nowrap|''&gamma;'' {{=}} 1}}, er dette det samme feltet. Men i tillegg vil det i lederen også opptre et elektrisk felt med komponentene {{nowrap|'''E''''<sub>''L''</sub> {{=}} 0&thinsp;}} og {{nowrap|'''E''''<sub>''T''</sub> {{=}} ''&gamma;''&thinsp;'''v'''&thinsp;&times;&thinsp;'''B'''<sub>''T''</sub>&thinsp;}} som utgjør det induserte feltet

: <math> \mathbf{E'} = \mathbf{E'}_T = \gamma\mathbf{v}\times\mathbf{B}_T  = \mathbf{v}\times\mathbf{B'} </math>

da '''v'''&thinsp;&times;&thinsp;'''B'''<sub>''L''</sub> = 0. Når lederen beveger seg mye langsommere enn lyshastigheten, er {{nowrap|''&gamma;'' {{=}} 1}} slik at {{nowrap|'''B'''' {{=}} '''B'''}}. Den induserte, elektromotoriske spenningen skyldes derfor det elektriske feltet {{nowrap|'''E'''' {{=}} '''v'''&thinsp;&times;&thinsp;'''B'''&thinsp;}} i lederen.

===Biot-Savarts lov===

En elektrisk ladning som beveger seg, utgjør en [[elektrisk strøm]]. Den vil dermed skape et magnetisk felt som kan beregnes fra [[Biot-Savarts lov]]. Dette feltet kan forklares som et resultat av en Lorentz-transformasjon av det elektriske feltet i ladningens hvilesystem til det referansesystemet hvor ladningen observeres å bevege seg.

Anta at ladningen ''q&thinsp;'' ligger i ro i det merkete systemet slik at den der omgir seg med et elektrisk felt som i punktet '''r'''' = (''x'&thinsp;'', ''y'&thinsp;'', ''z'&thinsp;'') er gitt ved [[Coulombs lov#Coulomb-feltet|Coulombs lov]]

: <math> \mathbf{E'}(\mathbf{r'}) = {q\,\mathbf{r'}\over 4\pi\varepsilon_0 r'^3} </math>

Ladningen beveger seg med konstant hastighet '''v''' langs ''x''-aksen når den observeres i en annet, stasjonært referansesystem. Antar man at denne hastigheten er mye mindre enn lyshastightene ''c'', vil transformasjonen av det elektriske feltet til dette systemet gi at  det er {{nowrap|'''E'''('''r''') {{=}} '''E''''&thinsp;}} hvor nå  {{nowrap|'''r''' {{=}} (''x - vt'', ''y'', ''z'').}} Men i tillegg vil det i dette systemet også opptre et magnetfelt som med den samme transformasjonen er {{nowrap|'''B'''('''r''')  {{=}} ('''v'''/''c''<sup>&thinsp;2</sup>)&thinsp;&times;&thinsp;'''E''''.}} Det kan skrives som

: <math>  \mathbf{B}(\mathbf{r}) = {\mu_0 q\over 4\pi r^3} \mathbf{v}\times\mathbf{r} </math>

som er Biot-Savarts lov etter å ha benyttet at 1/''c''<sup>&thinsp;2</sup> = ''&epsilon;''<sub>0</sub>''&mu;''<sub>0</sub>. Magnetfeltet står vinkelrett på hastigheten '''v''' og er derfor transversalt.

På samme måte vil feltene i en [[elektromagnetisk stråling|elektromagnetisk bølge]] beskrives forskjellig i forskjellige referansesystem. Her kommer i tillegg at en bølge har en variasjon i tid og rom beskrevet ved dens [[frekvens]] og [[bølge|bølgevektor]] som vil ha verdier avhengige av inertialsystemet hvor de blir målt. Dette resulterer i den [[relativistisk Doppler-effekt|relativistiske Doppler-effekten]] som har viktige anvendelser.