Redigerer Ugyldige bevis (avsnitt)

== Uendelige rekker ==
=== 0 = 1 om igjen ===
Start med summasjonen av uendelig mange etterfølgende nuller
:<math>0 = 0 + 0 + 0 + \cdots</math>
Legg merke til at <math>0 = 1 - 1</math>
:<math>0 = (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + \cdots</math>
Ved å anvende [[assosiativ lov|den assosiative loven]] for addisjon får man
:<math>0 = 1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) + (-1 + 1) + \cdots</math>
Det er opplagt at <math>-1 + 1 = 0</math>
:<math>0 = 1 + 0 + 0 + 0 + \cdots</math>
tillegget med den uendelige summen av nuller kan fjernes slik at
:<math>0 = 1 \,</math>

''Q.E.D.''

Feilen her er at den [[assosiative lov]]en ikke fritt kan anvendes på en uendelig sum med mindre summen konvergerer uten parenteser. Summen i dette tilfellet 1 − 1 + 1 − 1 + · · · er en klassisk divergent rekke. I argumentet her gir linje 2 rekken av delsummer 0, 0, 0, ... som konvergerer mot 0, mens linje 3 gir rekken av delsummer 1, 1, 1, ... som konvergerer mot 1, så uttrykkene trenger ikke være like.

Faktum er at den assosiative loven for addisjon kun sier noe om summer med tre ledd: <math>(a+b)+c=a+(b+c)</math>. Det er enkelt å vise at loven gjelder for et begrenset antall summeringer (ved hjelp av induksjon). Men problemet ligger i uendeligheten. Det vil ta et uendelig antall skritt å komme dit og et matematisk bevis skal kun ta et endelig antall skritt for å komme i mål. En annen illustrasjon på dette er følgende "bevis" av <math>1=0</math> som bare bruker konvergente uendelige summer og loven som gjør det mulig å bytte om to etterfølgende elementer i en slik sum, som definitivt er gyldig:
:<math>\begin{align}1&=1+0+0+0+0+\cdots\\
 &=0+1+0+0+0+\cdots\\
 &=0+0+1+0+0+\cdots\\
 &=0+0+0+1+0+\cdots\\
 &=0+0+0+0+1+\cdots\\
 &\vdots\\
 &=0+0+0+0+0+\cdots\\
 &=0\end{align}</math>

=== Bevis for at en rekke av positive ledd summerer til −1 ===

Start med den uendelig [[Rekke_(matematikk)#Geometriske_rekker|geometriske rekken]]
:<math>1 + 2 + 4 + 8 + \cdots</math>
Den velkjente formelen for summen av en uendelig [[geometrisk rekke]] er 
:<math>\frac{a_0}{1-r}</math>
hvor ''a''<sub>0</sub> er første ledd i rekken og ''r'' er felles forhold mellom leddene. Anvendelse av formelen gir
:<math>1 + 2 + 4 + 8 + \cdots = \frac{1}{1-2}=-1</math>
''Q.E.D.''

Feilen i beviset ligger i det faktum at en geometrisk rekke er konvergent hvis og bare hvis <math>|r|<1</math>.


=== Bevis for at summen av alle positive tall er negativ ===
Definer konstantene ''S'' og ''A'' ved
:<math>S=\sum_{k=1}^{\infin} k=1+2+3+4+\cdots \quad A=\sum_{k=1}^{\infin} k(-1)^{k+1}=1-2+3-4+\cdots</math>.

Derfor

:<math>S-A=(1-1)+(2-(-2))+(3-3)+(4-(-4))+\cdots=4+8+12+16+\cdots=4S</math>
:<math>S+A=(1+1)+(2+(-2))+(3+3)+(4+(-4))+\cdots=2+6+10+14+\cdots=4S+(2+2+2+2+\cdots)\; .</math>

Legger man sammen disse ligningene får man

:<math>2S = 8S + (2+2+2+2+\cdots)</math>

:<math>\Rightarrow S = -\left(\frac{1}{6}\right)(2+2+2+2+\cdots)\; .</math>

Summen av alle positive tall er altså negativ.

Problemet med dette beviset er antakelsen [[divergent rekke|divergente rekker]] følger [[aritmetikk]]ens lover.