Redigerer Projektivt plan (avsnitt)

== Kjeglesnitt ==
I den vanlige beskrivelsen av [[pol og polare]] inngår et [[kjeglesnitt]] i stedet for en polaritet som i denne projektive fremstillingen. Men disse to begrepene er ekvivalente da et kjeglesnitt er [[geometrisk sted|det geometriske stedet]] for de punkt som ligger på sin egen polare. Punktene er derfor ''selvkonjugerte'' og oppfyller ligningen  {{nowrap|'''x'''<sup>''T''</sup>&sdot;''C''&sdot;'''x''' {{=}} 0}}. Skrives den eksplisitt ut, blir den

: <math> c_{11}x_1^2 + c_{22}x_2^2 + c_{33}x_3^2 + 2c_{12}x_1x_2 + 2c_{23}x_2x_3 + 2c_{13}x_1x_3 = 0 </math>

Hvis man bare betrakter den endelige delen av det projektive planet, er ''x''<sub>3</sub> &ne; 0. Man kan da innføre de euklidske koordinatene {{nowrap|''x'' {{=}} ''x''<sub>1</sub>/''x''<sub>3</sub>}} og {{nowrap|''y'' {{=}} ''x''<sub>2</sub>/''x''<sub>3</sub>}}, og ligningen går over til den vanlige formen for et [[kjeglesnitt#Kjeglesnitt som kvadratisk form|kjeglesnitt]]. 

Linjekoordinatene for polaren til et punkt  '''y''' med hensyn på et kjeglesnitt med polaritet ''C'' er nå {{nowrap|'''n''' {{=}} '''y'''<sup>''T''</sup>&sdot;''C''}}. Ligningen {{nowrap|'''n'''&sdot;'''x''' {{=}} 0}} for polaren blir dermed {{nowrap|'''y'''<sup>''T''</sup>&sdot;''C''&sdot;'''x''' {{=}} 0}}. Dette gjelder også for det spesielle tilfellet at  '''y''' er et punkt på denne kurven. Den tilsvarende polaren er da [[tangent (matematikk)|tangent]] til kjeglesnittet i dette selvkonjugerte punktet. Ligningen for polarer og tangenter har derfor akkurat samme form.

Ligningen {{nowrap|'''x'''<sup>''T''</sup>&sdot;''C''&sdot;'''x''' {{=}} 0&thinsp;}} for et kjeglesnitt bestemmer de selvkonjugerte punktene '''x'''&thinsp; som ligger på kurven. Man kan alternativt beskrive det samme kjeglesnittet i linjekoordinater {{nowrap|'''m''' {{=}} '''x'''<sup>''T''</sup>&sdot;''C''&thinsp;}} for tangentene til hvert selvkonjugert punkt. Den nye ligningen blir da {{nowrap|'''m'''&sdot;''C''<sup>&thinsp;-1</sup>&sdot;'''m'''<sup>''T''</sup> {{=}} 0&thinsp;}} og beskriver en skare med selvkonjugerte linjer eller tangenter som omhyller kjeglesnittet.

Ved en projektiv transformasjon av koordinatene vil kjeglesnittet i alminnelighet forandres. For eksempel kan en sirkel forandres til en ellipse. Men det kan også forandre type som at en [[parabel]] forandres til en ellipse som igjen kan transformeres til en [[hyperbel]]. Ser man bort fra degenererte kjeglesnitt bestående av et par linjer, finnes det bare to grunnleggende kjeglesnitt i det projektive planet. Det første er gitt ved ligningen

: <math> x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 0, </math>

men er rent abstrakt da det ikke inneholder noen fysiske punkter beskrevet ved reelle koordinater. Den tilsvarende polariteten ''C&thinsp;'' sies å være '''elliptisk''' og tilsvarer enhetsmatrisen. Sammenhengen mellom pol og polare er da veldig enkel da de har de samme, homogene koordinatene. Hvis polen for eksempel har punktkoordinatene  {{nowrap|(1, -2, 3)}}, er polaren gitt ved linjekoordinatene {{nowrap|[1, -2, 3]}}. Dette forklarer også opphavet til navnene pol og polare. I modellen hvor det projektive planet er lagt inn i '''E'''<sup>3</sup>, er nå polen til en linje gitt ved normalen til planet som definerer den på samme måte som i [[sfærisk trekant#Polar trekant og dualitet|sfærisk]] eller [[elliptisk geometri]]. 

Den andre, fundamentale polaritet er gitt ved

: <math> x_1^2 + x_2^2 - x_3^2 = 0, </math>

om sies å være '''hyperbolsk'''. Det tilsvarende kjeglesnittet har nå reelle punkter i det projektive planet '''RP'''<sup>2</sup>. Avhengig av hvordan den ideelle linjen legges, kan dette beskrive en ellipse, parabel eller hyperbel. Historisk spilte det en viktig rolle i den matematiske beskrivelsen av [[hyperbolsk geometri]] som ble gitt av [[Felix Klein]].

=== Konstruksjon av pol og polare ===
[[Fil:Polarconstruct.jpg|thumb|240px|Konstruksjon av polaren <span style="color:red;"> (rød) </span> til punktet '''z''' ved hjelp av to tangenter  <span style="color:blue;">(blå) </span>.]]
Hvis man har gitt to punkt '''x'''  og '''y'''  liggende på et kjeglesnitt, vil tangentene i disse punktene skjære hverandre i et punkt '''z'''. Dette ligger derfor på polarene til '''x'''  og '''y'''. Men fra den generelle sammenhengen mellom pol og polare, følger det også at begge punktene ligger på polaren til '''z'''. Den kan derfor finnes ved en geometrisk konstruksjon hvor man trekker en rett linje gjennom de to punktene '''x''' og '''y'''.  Polaren til et punkt utenfor kjeglesnittet kan derfor finnes ved denne konstruksjonen såfremt man kan konstruere tangentene. 

Omvendt kan polen til en linje som skjærer kjeglesnittet, finnes på samme måte ved å konstruere tangentene i de to skjæringspunktene. Polen er da  skjæringspunktet mellom tangentene. Dette kan så igjen benyttes til å finne polaren til et punkt innenfor kjeglesnittet ved å trekke to vilkårlige linjer gjennom det. Polaren er da linjen gjennom polene til de to linjene og er uavhengig av deres valg.

=== Fullstendig firkant på kjeglesnitt ===
[[Fil:Polarconstruct-1.jpg|left|thumb|240px|Konstruksjon av polaren <span style="color:red;"> (rød) </span>  til punktet '''z''' ved hjelp av to sekanter <span style="color:blue;">(blå) </span>. Skjæringspunktene '''a''', '''b''', '''c''' og '''d''' med kjeglesnittet definerer en [[fullstendig firkant]]. Linjen mellom de to diagonale skjæringspunktene '''x''' og '''y''' er polaren.]]
Svakheten i denne metoden til bestemmelse av pol og polare, ligger i den geometriske konstruksjonen av tangentene til kjeglesnittet. Det kan ikke bli gjort helt nøyaktig kun ved bruk av [[linjal]] og [[passer]]. Denne vanskeligheten kan omgås ved benytte en viktig egenskap ved en  [[fullstendig firkant]] som har fire hjørner på kjeglesnittet. Den diagonale trekanten til firkanten er da «selvpolar» på den måten at hvert av dens tre hjørner er polen til den motsatte siden i trekanten.  Er kjeglesnittet en sirkel, vil firkanten være en [[firkant#Syklisk firkant|syklisk]].

Basert på denne egenskapen kan man finne polaren til et punkt '''z''' ved å trekke to vilkårlige linjer gjennom punktet slik at de begge skjærer kjeglesnittet. Linjene er derfor [[sekant]]er. De fire skjæringspunktene definere en fullstendig firkant hvor to av sidene er disse sekantene. To andre, motstående sider i firkanten skjærer hverandre i det diagonale  punktet '''x''', mens de to siste sidene skjærer hverandre i et punkt '''y'''. Sammen med det gitte punktet '''z''' utgjør disse tre punktene hjørnene i den dagonale trekanten.  Polaren til '''z''' er da linjen gjennom punktene '''x''' og '''y'''. Den er uavhengig av hvilke to sekanter som opprinnelig ble valgt til å forme fden fullstendige irkanten på kjeglesnittet.

Fra samme konstruksjonen ser man også at polaren til punktet '''x''' er linjen gjennom de diagonale punktene '''y''' og '''z'''. Det kan benyttes til å finne polaren til et punkt som ligger innenfor kjeglesnittet. Igjen trekker man to vilkårlige sekanter gjennom punktet for å finne en firkantl liggende på kjeglesnittet.  De to andre diagonale punktene blir liggende utenfor kjeglesnittet og dermed også polaren til det gitte punktet.  

Omvendt kan denne direkte fremgangsmåten også benyttes til å konstruere polen til en gitt linje. Man velger da et vilkårlig punkt på linjen og trekker to sekanter gjennom dette. Skjæringspunktene med kjeglesnittet definerer en fullstendig firkant. Polen til linjen er da det diagonale punktet til dette som ligger utenfor den gitte linjen.