Redigerer Kvantemekanikk (avsnitt)

===Egenvektorer og egenverdier===

Når en operator <math>  \hat{A} </math> virker på en tilstand eller vektor <math>  |\Psi\rangle </math> og resultatet er en vektor i samme retning slik at

: <math>   \hat{A} |\Psi\rangle = a |\Psi\rangle , </math>

sies vektoren å være en [[egenvektor]] til denne operatoren. Tallet ''a&thinsp;'' vil i alminnelighet være komplekst og kalles en '''egenverdi''' til operatoren. Men i det tilfellet at operatoren er hermitisk, er egenverdien et reelt tall. Det følger fra en multiplikasjon med den adjungerte brå-vektoren 
<math>  \langle \Psi| </math> fra venstre som gir <math>   \langle \Psi| \hat{A} |\Psi\rangle = a \langle \Psi|\Psi\rangle . </math> Begge de to indreproduktene her er nå reelle og derfor er også egenverdien ''a&thinsp;'' reell.

En operator kan generelt ha flere forskjellige egenverdier. De tilsvarende egenvektorene vil da være ortogonale. Det følger fra de to egenverdiligningene

: <math>  \hat{A} |\Psi_m\rangle = a_m |\Psi_m\rangle , \;\;\;  \hat{A} |\Psi_n\rangle = a_n |\Psi_n\rangle </math>

Her kan den første ligningen multipliseres med <math>  \langle \Psi_n| </math> fra venstre. Når man så benytter samtidig den andre ligningen på formen <math>  \langle \Psi_n| \hat{A} = a_n \langle \Psi_n|, </math> ser man at <math> (a_m - a_n)  \langle \Psi_n |\Psi_m\rangle = 0 . </math> Hvis de to egenverdiene er forskjellige, må derfor indreproduktet av de tilsvarende egenvektorene være lik med null.<ref name = Dirac-QM/>

På lignende måte er det lett å vise at hvis en vektor <math>  |\Psi\rangle </math> er samtidig egenvektor til to forskjellige operatorer  <math>  \hat{A} </math> og  <math>  \hat{B}, </math> må disse operatorene kommutere med hverandre, det vil si <math> [\hat{A}, \hat{B}] = 0. </math> En egentilstand kan derfor karakteriseres ved egenverdiene til alle operatorer som kommuterer med hverandre. Hvis derimot de to operatorene ikke kommuterer med hverandre, kan de ikke måles eller bestemmes samtidig. Gjøres det, vil resultatet være beheftet med en usikkerhet som matematisk kan uttrykkes ved [[Heisenbergs uskarphetsrelasjon]].

Et grunnleggende teorem i [[lineær algebra]] er at alle egenvektorene til en hermitisk operator utgjør et «fullstendig sett». Det betyr at de kan benyttes som basisvektorer i det tilsvarende Hilbert-rommet. Hver slik operator gir derfor et gangspunkt for å konstruere en tilsvarende basis i dette rommet. Det muliggjør også transformasjoner mellom matriserepresentasjoner av operatorer i forskjellige basissystem.