Redigerer Harmonisk oscillator (avsnitt)

===N koblete oscillatorer===
[[Fil:1D normal modes (280 kB).gif|thumb|320px|Egenmoder for oscillerende massepunkt på en linje.]]
En kjede med ''N''&thinsp; koblete massepunkt hvor de to ytterste massene er koblet til faste punkt, kan tenkes som en del av en lengre kjede hvor utslagene ''x''<sub>0</sub>&thinsp; og ''x''<sub>''N''+1</sub>&thinsp; er lik med null. Et vilkårlig punkt i denne kjeden har da bevegelsesligningen<ref name = Morin>D. Morin,  [http://www.people.fas.harvard.edu/~djmorin/waves/normalmodes.pdf ''Normal modes''], Lectures at Harvard University (2010).</ref>

: <math> \ddot{x}_n = \omega_0^2( - 2x_n + x_{n+1} + x_{n-1}) </math>

For å finne modene må man i dette tilfellet finne egenverdiene til en ''N&times;N'' matrise. Her lar det seg gjøre ved å skrive utslagene i en bestemt mode på den tldligere formen {{nowrap|''x<sub>n</sub>''(''t''&thinsp;) {{=}} ''a<sub>n</sub>''&thinsp;cos(''&omega;t - &phi;'')&thinsp;}} hvor nå  ''a<sub>n</sub>''&thinsp; er ''n''-te komponent av egenvektoren '''a'''. Bevegelsesligningen kan da oppfylles ved å sette  {{nowrap|''a<sub>n</sub>'' {{=}} ''A''&thinsp;sin''Kn''}}&thinsp; hvor ''K''&thinsp; foreløbig er en ubestemt konstant. Det verifiseres ved å sette inn denne antagelsen. Resultatet kan skrives som

: <math> -\omega^2\sin Kn = \omega_0^2\big(-2\sin Kn + \sin K(n+1) + \sin K(n-1)\big) </math>

og kan videre forenkles ved å bruke [[trigonometrisk identitet|den trigonometriske identiteten]] for sinus til en sum av to vinkler. Det gir {{nowrap|''&omega;''<sup>2</sup> {{=}} 2''&omega;''<sub>0</sub><sup>2</sup>(1 - cos&thinsp;''K'')&thinsp;}} slik at

: <math> \omega = 2\omega_0\sin{K\over 2} </math>

Dermed er egenfrekvensene bestemt hvis den ukjente ''K&thinsp;'' kan finnes. Den følger nå fra kravene {{nowrap|''a''<sub>0</sub> {{=}} ''a''<sub>''N''+1</sub> {{=}} 0}} for en endelig kjede med ''N'' koblete massepunkt. Det første kravet er automatisk oppfylt med antagelsen {{nowrap|''a<sub>n</sub>'' {{=}} ''A''&thinsp;sin''Kn''}}, mens det andre kravet gir ''K(N + 1) = m&pi;''&thinsp; hvor heltallet ''m'' = 1, 2, ... ,''N''&thinsp; karakteriserer de forskjellige modene. Som ventet er det derfor  ialt ''N'' egenmoder  hvor hver kan tilordnes en verdi

: <math> K_m = {m\pi\over N + 1} </math>

og tilhørende egenfrekvens

: <math> \omega_m = 2\omega_0\sin\Big({{m\over N + 1}{\pi\over 2}}\Big),  \;\; m = 1,2,\ldots, N.  </math>

For de korteste kjedene med ''N'' = 2 og ''N'' = 3 gir denne enkle formelen de tidligere funne egenfrekvensene. Også komponentene {{nowrap|''a<sub>n</sub>'' {{=}} ''A''&thinsp;sin''Kn''}}&thinsp; til egenvektorene '''a''' kommer ut riktig for disse to tilfellene.<ref name = Morin/> Den mest generelle bevegelse for det ''n''-te massepunktet finnes nå ved å summere over bidragene fra alle modene,

: <math> x_n(t) = \sum_{m=1}^N A_m \sin(K_mn) \cos(\omega_mt - \phi_m) </math>

hvor konstantene ''A<sub>m</sub>''&thinsp; og ''&phi;<sub>m</sub>''&thinsp; bestemmes av grensebetingelsene til de ''N'' massepunktene som utgjør den endelige kjeden.

Tenkes de koblete massepunketene å legge veldig tett, vil kjeden i praksis være en elastisk streng som utfører [[langsgående akse|longitudinale]] svingninger. Den generelle løsningen som her er funnet, representerer da en «stående [[bølge]]» til en [[svingende streng]] som er holdt fast i begge ytterpunktene. Størrelsen ''K'' tilsvarer  «bølgetallet». Hver egenfrekvens vil kunne frembringe en [[tone]] hvis strengen  er en del av et [[musikkinstrument]].