Redigerer
Den generelle relativitetsteorien
(avsnitt)
Hopp til navigering
Hopp til søk
Advarsel:
Du er ikke innlogget. IP-adressen din vil bli vist offentlig om du redigerer. Hvis du
logger inn
eller
oppretter en konto
vil redigeringene dine tilskrives brukernavnet ditt, og du vil få flere andre fordeler.
Antispamsjekk.
Ikke
fyll inn dette feltet!
==Newtonsk grense== Geometrien til tidrommet og dermed også all fysikk i det krumme tidrommet er gitt ved den metriske tensoren ''g<sub>μν</sub>''. Den kan i det generelle tilfellet finnes som løsning av [[Einsteins feltligning]]. Denne fant Einstein i 1915 ved å forlange at den måtte være i overensstemmelse med [[Newtons gravitasjonslov]] for svake felt og gi [[Newtons lover|Newtons andre lov]] for partikkelbevegelse ved lave hastigheter ''v'' << ''c'' = 1. Dette kalles vanligvis for den «newtonske grense» hvor lovene for ikke-relativistisk fysikk gjelder.<ref name = TW>E. F. Taylor and J. A. Wheeler, ''Spacetime Physics'', W. H. Freeman and Company, San Francisco (1963).</ref> Lokalt kan Newtons lov for [[tyngdekraft]]en skrives som en [[differensialligning]] av andre orden for [[gravitasjonspotensial]]et Φ = Φ('''x'''), : <math> \nabla^2 \Phi = 4\pi G\rho </math> hvor ''G'' er [[gravitasjonskonstanten]] og ''ρ'' = ''ρ''('''x''') er massetettheten i punktet '''x'''. Dette er en [[Poissons ligning|Poisson-ligning]] av samme form som for det elektriske potensialet i [[elektrostatikk]]en. Einstein resonnerte at en relativistisk generalisering av denne ligningen måtte på venstre side erstattes av ledd som inneholder den andrederiverte av den metriske tensoren. På høyre side måtte likedan den ikke-relativistiske massetettheten erstattes med [[energi-impulstensor]]en ''T<sup>μν</sup>'' som i alle relativistiske teorier samler all energi, impuls og masse i en større enhet. Da denne tensoren er symmetrisk, måtte det derfor finnes en annen, geometrisk tensor ''E<sup>μν</sup>'' på venstre side av ligningen som inneholder andrederiverte av metrikken. Ligningen måtte derfor ha formen : <math> E^{\mu\nu} = \kappa T^{\mu\nu} </math> hvor ''κ'' måtte være en eller annen naturkonstant.<ref name="BG">L. Bergström and A. Goobar, ''Cosmology and Particle Astrophysics'', Springer-Verlag, Berlin (2004). ISBN 3-540-43128-4.</ref> Fra [[Riemanns differensialgeometri]] visste Einstein og hans matematiske medarbeider Grossmann at det fantes kun to slike størrelser, nemlig [[Riemanns differensialgeometri#Ricci-tensoren|Ricci-tensoren]] ''R<sub>μν</sub>'' og dens spor {{nowrap|''R'' {{=}} ''R<sup>μ</sup><sub>μ</sub>''}}. Ut fra kravet {{nowrap|∇''<sub>μ</sub>T<sup> μν</sup>'' {{= }} 0}} om bevarelse av energi og impuls, må derfor også {{nowrap|∇''<sub>μ</sub>E<sup> μν</sup>'' {{= }} 0}} være oppfylt. Fra en [[Riemanns differensialgeometri#Symmetrier|Bianchi-identitet]] følger det da at den geometriske Einstein-tensoren må være den spesielle kombinasjonen : <math> E^{\mu\nu} = R^{\mu\nu} - {1\over 2}g^{\mu\nu}R </math> som dermed ga den endelige formen til den gravitasjonelle feltligningen. ===Ikke-relativistisk bevegelse=== Når man velger å parametrisere bevegelsen til en partikkel som beveger seg i en statisk metrikk ''g<sub>μν</sub>'' med dens egentid ''τ'', vil størrelsen til firehastigheten {{nowrap|''u<sup> μ</sup>'' {{=}} ''dx<sup> μ</sup>''/''dτ''}} være gitt ved {{nowrap|''u⋅u'' {{=}} ''g<sub>μν</sub>u<sup> μ</sup>u<sup> ν</sup>'' {{=}} 1}}. For en ikke-relativistsisk bevegelse er den største komponenten {{nowrap|''u''<sup> 0</sup> {{=}} ''dt''/''dτ''}} da tidskoordinaten {{nowrap|''x''<sup> 0</sup> {{=}} ''t''}}. Den geodetiske ligningen forenkles da til : <math> {d^2 x^\mu\over d\tau^2} + \Gamma^\mu_{\;00}\Big({dt\over d\tau}\Big)^2 = 0 </math> I en statisk metrikk hvor alle deriverte med hensyn på tiden er null, forenkles det andre Cristoffel-ssymbolet og gir : <math> \Gamma^\mu_{\;00} = - {1\over 2}g^{\mu\nu}{\partial g_{00}\over\partial x^\nu} </math> Da metrikken i denne grensen er antatt å skille seg lite fra den flate Minkowski-metrikken, kan man skrive : <math> g_{\mu\nu}(x) = \eta_{\mu\nu} + h_{\mu\nu}(x) </math> hvor størrelsen til avviket |''h<sub>μν</sub>'' | << 1. Da alle tidsderiverte gir null, betyr det at {{nowrap|Γ<sup>0</sup><sub>00</sub> {{=}} 0}}. Derfor er {{nowrap|''d''<sup> 2</sup>''t''/''dτ''<sup>2</sup> {{=}} 0}}, og koordinattiden ''t'' kan identifiseres med egentiden ''τ''. Dette er som forventet i Newtonsk fysikk. De romlige komponentene av geodetligningen gir nå : <math> {d^2 x^k\over dt^2} = - {1\over 2} {\partial h_{00}\over\partial x^k} </math> Sammenlignes dette med [[Newtons lover|Newtons bevegelsesligning]] {{nowrap|''d''<sup> 2</sup>'''x'''/''dt''<sup> 2</sup> {{=}} - '''∇''' Φ}} for en partikkel i gravitasjonspotensialet Φ, må man ha ''h''<sub>00</sub> = 2Φ og dermed : <math> g_{00}(\mathbf{x}) = 1 + 2\Phi(\mathbf{x}) </math>. De andre komponentene til avviket ''h<sub>μν</sub>'' er ennå ikke kjent, bortsett fra antagelsen at de er uavhengige av tiden. Men det ligger sterke føringer på disse som følger fra feltligningen. Ved å summerer over dens diagonale komponenter, finner man at {{nowrap|''R'' {{=}} - ''κT'' }} der {{nowrap|''T'' {{=}} ''T<sup>μ</sup><sub>μ</sub>'' }} er sporet av energi-impulstensoren etter å ha benyttet at {{nowrap|''g<sup>μ</sup><sub>μ</sub>'' {{=}} 4.}} Ligningen til Einstein kan dermed skrives på den ekvivalente formen : <math> R_{\mu\nu} = \kappa \big(T_{\mu\nu} - {1\over 2}g_{\mu\nu}T\big) </math>, I den newtonske grensen har energi-impulstensoren en dominerende komponent som er massetettheten {{nowrap|''T''<sub>00</sub> {{=}} ''ρ''.}} Denne gir av samme grunn også verdien for sporet {{nowrap|''T {{=}} ρ''}}. Feltligningen sier dermed at de forskjellige komponentene til [[Einsteins feltligning|Ricci-tensoren]] må oppfylle betingelsene {{nowrap|''R''<sub>00</sub> {{=}} ''κρ''/2 }} og {{nowrap|''R<sub>ij</sub>'' {{=}} ''δ<sub>ij</sub> κρ''/2.}} For beregning av komponenten {{nowrap|''R''<sub>00</sub> }} behøver man bare å vite at {{nowrap|''g''<sub>00</sub> {{=}} 1 + 2Φ }} i den statiske grensen. Fra definisjonen følger det da direkte at<ref name = RN/> : <math> R_{00} = \nabla^2\Phi </math> Da denne også skal ha verdien ''κρ''/2, betyr det at konstanten {{nowrap|''κ'' {{=}} 8''π G''}} når man sammenligner med [[Newtons gravitasjonslov#Endelig massefordeling|Newtons gravitasjonslov]] {{nowrap|∇<sup>2</sup>Φ {{=}} 4''π Gρ''}}. [[Fil:Spacetime curvature.png|thumb|360px|Todimensjonell visualisering av rommets krumning utenfor en masse. Den avtar ved store avstander.]] Betingelsen fra feltligningen som de romlige komponentene av Ricci-tensoren må oppfylle, gir nå med en gang at : <math> R_{ij} = \delta_{ij}\nabla^2\Phi </math> Det betyr at i tillegg til at ''h''<sub>00</sub> = 2Φ, må også de romlige komponentene til den metriske tensoren ha et avvik. Overensstemmelse finnes når disse {{nowrap|''h<sub>i j</sub>'' {{=}} 2''δ<sub>i j</sub>'' Φ.}} I den newtonske grensen er derfor tidrommets metrikk : <math> ds^2 = (1 + 2\Phi) dt^2 - (1 - 2\Phi)d\mathbf{x}^2 </math> Den siste termen her viser at ikke bare det 4-dimensjonale tidrommet er krummet, men også den 3-dimensjonale, romlige delen er [[ikke-euklidsk geometri|ikke-euklidsk]]. For lys, som per definisjon beveger seg relativistisk, vil denne forandringen av geometrien gi en fordobling av den gravitasjonelle lysavbøyningen sammenlignet med hva den første termen i metrikken alene hadde gitt. Da denne forutsigelsen ble bekreftet ved solformørkelsen i 1919, markerte det begynnelsen på den universelle akseptansen av den generelle relativitetsteorien.
Redigeringsforklaring:
Merk at alle bidrag til Wikisida.no anses som frigitt under Creative Commons Navngivelse-DelPåSammeVilkår (se
Wikisida.no:Opphavsrett
for detaljer). Om du ikke vil at ditt materiale skal kunne redigeres og distribueres fritt må du ikke lagre det her.
Du lover oss også at du har skrevet teksten selv, eller kopiert den fra en kilde i offentlig eie eller en annen fri ressurs.
Ikke lagre opphavsrettsbeskyttet materiale uten tillatelse!
Avbryt
Redigeringshjelp
(åpnes i et nytt vindu)
Denne siden er medlem av 1 skjult kategori:
Kategori:1000 artikler enhver Wikipedia bør ha
Navigasjonsmeny
Personlige verktøy
Ikke logget inn
Brukerdiskusjon
Bidrag
Opprett konto
Logg inn
Navnerom
Side
Diskusjon
norsk bokmål
Visninger
Les
Rediger
Rediger kilde
Vis historikk
Mer
Navigasjon
Forside
Siste endringer
Tilfeldig side
Hjelp til MediaWiki
Verktøy
Lenker hit
Relaterte endringer
Spesialsider
Sideinformasjon