Redigerer Funksjon (matematikk) (avsnitt)

== Egenskaper til funksjoner ==

Funksjoner kan karakteriseres med en lang rekke egenskaper, og egenskapene kan brukes til å kategorisere funksjoner i klasser og funksjonsrom.  Her er bare omtalt noen få viktige egenskaper.

=== Injektivitet, surjektivitet og bijektivitet ===

En funksjon er [[injektiv funksjon|injektiv]] hvis den for ethvert element i verdimengden til funksjonen svarer bare til maksimum én verdi i definisjonsmengden. En slik funksjon kalles en ''injeksjon'' og også en
en-til-en-funksjon. En funksjon er [[surjektiv funksjon|surjektiv]] hvis den for ethvert element i verdimengden svarer til minst én verdi i definisjonsmengden. En funksjon er [[bijeksjon|bijektiv]] hvis den for ethvert element i verdimengden svarer til nøyaktig én verdi i definisjonsmengden.  

{|
|[[Fil:Injection.svg|200px|thumb|left|Injeksjon]]
|[[Fil:Surjection.svg|200px|thumb|left|Surjeksjon]]
|[[Fil:Bijection.svg|200px|thumb|left|Bijeksjon]]
|}

===Symmetrier ===

En funksjon er ''jevn'' eller ''jamn'' dersom den har symmetriegenskapen <math>f(x) = f(-x)</math>.  For en reell funksjon av en reell variabel svarer dette til at grafen til funksjonen er symmetrisk om <math>y</math>-aksen.
En ''odde'' funksjon oppfyller egenskapen <math>f(x) = -f(-x)</math>.  Grafen til en odde reell funksjon av en variabel er symmetrisk om origo.  

En funksjon av flere variable er ''symmetrisk'' dersom den er uendret ved permutasjoner av argumentene, for eksempel 

:<math>f(x_1, x_2) = f(x_2, x_1)</math>

===Kontinuitet===

En funksjon er [[kontinuerlig funksjon|kontinuerlig]] for et argument <math>a</math> dersom den oppfyller et vilkår

:<math>f(a) = \lim_{x \rightarrow a} f(x)</math>

Definisjonen krever at størrelsene på begge sider av likhetstegnet er definert.  Det eksisterer flere alternative definisjoner av det viktige begrepet kontinuitet. Funksjonen sies å være kontinuerlig i et område 
dersom den er kontinuerlig for alle elementer i området.  En kontinuerlig funksjon kan uformelt karakteriseres som «sammenhengende».  Et punkt der funksjonen ikke er kontinuerlig, kalles en ''diskontinuitet''

===Deriverbarhet===

En funksjon er deriverbar i et punkt dersom den [[derivasjon|deriverte]] er definert i punktet.  Funksjonen er deriverbar i et område dersom den er deriverbar for alle argument i området.  
En funksjon som har kontinuerlig førstederiverte, sies å være kontinuerlig deriverbar.  For en ''glatt'' funksjon er alle deriverte av alle ordener kontinuerlige.  

En kompleks funksjon er deriverbar dersom den oppfyller [[Cauchy–Riemanns ligninger|Cauchy-Riemann-ligningene]].  En [[holomorf funksjon]] er en kompleks funksjon som er deriverbar i hele definisjonsmengden.