Redigerer Den spesielle relativitetsteorien (avsnitt)

==Energi-masse ekvivalens==

Noen få måneder etter at Einstein publiserte sitt arbeid sin nye relativitetsteori, kom han med et mye kortere bidrag hvor han utledet den berømte formelen {{nowrap|''E {{=}} mc''<sup>2</sup>}}. Denne blir noen ganger kalt for [[masseenergiloven]], men bør heller betraktes som en relasjon som uttrykker ekvivalens mellom energi og masse.<ref name="Pais">  A. Pais, ''Inward Bound: Of Matter and Forces in the Physical World'', Clarendon Press, Oxford (1986). ISBN 0-19-851971-0.</ref>

Einstein betraktet en masse ''M'' som ligger i ro. Så sender den ut to fotoner med total energi ''E''. De beveger seg bort fra hverandre, hver med en impuls med størrelse {{nowrap|''p {{=}} E''/2''c''&thinsp;}} og med motsatt retning. Etter utsendelsen ligger massen derfor fremdeleles i ro. Denne prosessen beskrives nå i et annet inertialsystem som beveger seg med hastigheten {{nowrap|''v << c''}} langs retningen til fotonene. Sett fra dette systemet har det ene fotonet fått en [[blåforskyvning]]. Denne er gitt ved den ikke-relativistiske [[Dopplereffekt|Doppler-faktoren]] {{nowrap|1 + ''v''/''c''}}  som gir en økning av dets impuls med (''E''/2''c'')(''v''/''c''). Det andre fotonet er [[rødforskyvning|rødforskjøvet]] med en tilsvarende reduksjon av impulsen. Derfor har de to fotonene i dette systemet tilsammen en impuls {{nowrap|&Delta;''p'' {{=}} ''Ev''/''c''<sup>2</sup>}}. 

Impulsen til partikkelen i dette bevegelige referansesystemet var ''Mv'' før utsendelsen. Den forsetter med samme hastighet etter utsendelsen siden den ble liggende i ro i det stasjonære systemet. Dens masse må derfor ha avtatt med {{nowrap|&Delta;''M'' {{=}} ''E''/''c''<sup>2</sup>&thinsp;}} for at den totale impulsen skal være bevart. Partikkelen har ved utsendelse av stråling altså mistet noe masse som er blitt konvertert til energi.

I årene som fulgte kom Einstein med flere utledninger og begrunnelser for denne ekvivalensen. Mest naturlig fremkommer den ved å forstå Lorentz-transformasjonen som en geometrisk sammenheng i et firedimensjonalt [[tidrom]]. Dette ble vist av den tyske matematiker [[Hermann Minkowski]] i 1908. Etter han blir tidsrommet i den spesielle relativitetsteorien omtalt som «Minkowski-rommet». Denne geometriske formuleringen av teorien til Einstein kalles [[kovariant relativitetsteori]] og er den som lar seg generalisere til [[generell relativitetsteori]].<ref name =Subtle/>

===Relativistisk impuls===

Relativitetsteorien gjør det mulig å relatere fenomen som beskrives av observatører som befinner seg i forskjellige [[inertialsystem]]. En masse ''m'' som befinner seg i ro i et slikt system som selv er i bevegelse med  hastigheten '''v''' relativt til et annet system, vil i dette siste systemet sies å ha en [[bevegelsesmengde|impouls]] ''m''&thinsp;'''v''' når man benytter  [[Newtons lover|newtonsk mekanikk]]. På samme måte vil den ha den [[kinetisk energi|kinetiske energien]]  ''m''&thinsp;'''v'''<sup>2</sup>/2. I denne ikke-relativistiske beskrivelsen er både energi og impuls av fundamental betydning da det er størrelser som er bevarte i alle mekaniske prosesser, uansett hvilket inertialsystem som benyttes. Det er derfor å forvente at energi og impuls kan defineres i spesiell relativitetsteori.

At en fysisk lov, som bevarelse av energi og impuls, har samme form i alle inertialsystem, sies å være en «kovariant» egenskap. Ved å benytte det firedimensjonale Minkowski-rommet til å lage en [[kovariant relativitetsteori]], fremkommer de relativistiske uttrykkene for [[Kovariant relativitetsteori#Firehastighet og impuls|energi og impuls]] på en enkel måte. Har partikkelen masse ''m'' og hastighet '''v''', vil den ha en energi

: <math> E = {mc^2\over\sqrt{1 - v^2/c^2}} = mc^2 + {1\over 2}mv^2\Big(1 + {3v^2\over 4c^2}\Big) + \cdots </math>

hvor [[Taylor-rekke|Taylor-utviklingen]] på høyre side følger fra [[binomialformel]]en for ikke-relativistisk bevegelse ''v'' << ''c''. Mens det andre leddet på høyre side er den kinetiske energien i denne grensen, er det første leddet «hvileenergien»{{nowrap| ''E<sub>0</sub> {{=}} mc''<sup>2</sup>.}} Den kommer her automatisk frem fra den relativistiske energien i det inertialsystemet hvor partikkelen er i ro.

På samme måte blir [[bevegelsesmengde|impulsen]] til partikkelen i den kovariant formuleringen

: <math> \mathbf{p} = {m\mathbf{v}\over\sqrt{1 - v^2/c^2}} \; .</math>

som gir direkte  ''m''&thinsp;'''v''' i den ikke-relativistiske grensen. Generelt har man derfor sammenhengen ''p'' = ''Ev''/''c''<sup>2</sup>&thinsp; mellom energi og impuls. Den kinetiske energien til partikkelen kan nå uttrykkes ved impulsen og blir

: <math> E = \sqrt{m^2c^4 + p^2c^2} = mc^2 + {p^2\over 2m} - {p^4\over 8m^3c^2} + \cdots </math>

når ''p'' << ''mc''.  Det tredje leddet på høyre side er en korreksjon til den vanlige, [[kinetisk energi|kinetiske energien]] ''p''<sup>2</sup>/2''m&thinsp;'' som må tas med når man beskriver [[elektron]]ene i et [[atom]] og som gir opphav til [[finstruktur]] i deres [[visuelt spektrum|spektrum]].

Hvis hastigheten til partikkelen varierer med tiden slik at den får en [[akselerasjon]], må det skyldes at den er utsatt for en [[kraft]]. Den vil medføre at energien ''E'' også varierer med tiden. Ved direkte derivasjon finnes nå

: <math> {dE\over dt} = \mathbf{v}\cdot{d\mathbf{p}\over dt} </math>

Ut fra den klassiske sammenhengen ''dE''/''dt'' = '''F'''&sdot;'''v''' mellom utført [[Arbeid (fysikk)|arbeid]] og tilsvarende forandring av energi, betyr det at kraften som virker på partikkelen er gitt som {{nowrap|'''F''' {{=}} ''d''&thinsp;'''p'''/''dt''}}. Dette er [[Newtons lover|Newtons andre lov]] som dermed også gjelder for en relativistisk partikkel når definisjonen av dens impuls blir gitt et nytt innhold i overensstemmelse med relativitetsteorien.<ref name =TaylorWheeler/>