Redigerer
Den generelle relativitetsteorien
(avsnitt)
Hopp til navigering
Hopp til søk
Advarsel:
Du er ikke innlogget. IP-adressen din vil bli vist offentlig om du redigerer. Hvis du
logger inn
eller
oppretter en konto
vil redigeringene dine tilskrives brukernavnet ditt, og du vil få flere andre fordeler.
Antispamsjekk.
Ikke
fyll inn dette feltet!
==Kovariant fysikk og gravitasjon== På en [[differensiell flategeometri|krum flate]] gir en [[geodetisk kurve]] vanligvis den korteste avstanden mellom to punkt. I [[spesiell relativitetsteori]] er de geodetiske kurvene rette linjer som forbinder to punkt i Minkowski-rommet som er separert med maksimal egentid. Har dette koordinater ''x'<sup> α</sup>'', kan den tilsvarende bevegelsesligningen {{nowrap|''d''<sup> 2</sup>''x'<sup> α</sup>''/''dλ''<sup>2</sup> {{=}} 0 }} finnes fra den [[Kovariant relativitetsteori#Hamiltons prinsipp|kovariante Lagrange-funksjonen]] : <math> L = {1\over 2}\eta_{\alpha\beta}{dx'^\alpha\over d\lambda}{dx'^\beta\over d\lambda} </math> som her representerer en generalisering av den [[kinetisk energi|kinetiske energien]] til en partikkel som følger kurven. Parameteren ''λ'' er proporsjonal med partikkelens egentid.<ref name = Carroll/> Etter å ha innført globale koordinater tar denne Lagrange-funksjonen den generelle formen : <math> L = {1\over 2}g_{\mu\nu}(x){dx^\mu\over d\lambda}{dx^\nu\over d\lambda} </math> Den beskriver bevegelsen til en relativistisk partikkel i et generelt gravitasjonsfelt. Ved å benytte [[Kovariant relativitetsteori#Relativistisk partikkel i gravitasjonsfelt|Hamiltons virkningsprinsipp]] følger da direkte den kovariante ligningen for den geodetiske kurven med riktig form det andre Christoffel-symbolet. Dette er et enkelt eksempel på essensen i den generelle relativitetsteorien. Den er kovariant ved at den ikke bare er en relativistisk teori for gravitasjon, men sier at alle fundamentale, fysiske lover må formuleres slik at de tar samme form i alle koordinatsystem. Da alle elementærpartikler er beskrevet ved bruk av [[kvantefeltteori]], sier den derfor også hvordan alle slike partikler kobler til gravitasjon. Kjenner man en slik lov i Minkowski-rommet, kan den generaliseres til også å gjelde i et gravitasjonsfelt ved at den flate metrikken ''η<sub>αβ</sub>'' erstattes med den globale metrikken ''g<sub>μν</sub>''. Samtidig må alle partiellderiverte ''∂<sub>α</sub>'' erstattes med [[Tensor#Tensoranalyse|kovariant deriverte]] ∇<sub>''μ''</sub> på samme måte som i alle [[krumlinjete koordinater|krumlinjete koordinatsystem]]. For eksempel, [[kontinuitetsligning]]en for en [[elektrisk strøm]] med firevektor {{nowrap|''J<sup> μ</sup>'' {{=}} (''cρ'','''J''')}} kan skrives på kovariant vis i Minkowski-rommet som {{nowrap|''∂<sub>μ</sub>J<sup> μ</sup>'' {{=}} 0}}. Bevarelse av denne strømmen i et gravitasjonsfelt uttrykkes da som {{nowrap|∇''<sub>μ</sub>J<sup> μ</sup>'' {{= }} 0}}. På samme måte skrives bevarelse av energi og impuls for et system med [[energi-impulstensor]] ''T<sup> μν</sup>'' på kovariant form som {{nowrap|∇''<sub>μ</sub>T<sup> μν</sup>'' {{= }} 0}}.<ref name = MTW/> Et tilsvarende eksempel gjelder ligningen for den geodetiske kurven som en fri partikkel følger. Ved å innføre firehastigheten {{nowrap|''u'<sup> α</sup>'' {{=}} ''dx'<sup> α</sup>''/''dλ''}}, er bevegelsesligningen i et lokalt Minkowski-rom {{nowrap|''du'<sup> α</sup>''/''dλ'' {{=}} 0}}. Ved bruk av kjerneregelen for derivasjon kan dette skrives som : <math> {\partial u'^\alpha\over\partial x'^\beta}{dx'^\beta\over d\lambda} = 0 </math> eller på den mer kompakte formen ''u'<sup> β</sup>∂'<sub>β</sub> u'<sup> α</sup>'' = 0. Denne ligningen kan så tas over i globale koordinater og blir dermed : <math> u^\nu\nabla_\nu u^\mu = u^\nu{\partial u^\mu\over\partial x^\nu} + \Gamma^\mu_{\;\nu\sigma}u^\nu u^\sigma = 0 </math> Da det første leddet ikke er noe annet enn ''du<sup>μ</sup>''/''dλ'', er dette den geodetiske ligningen. Denne utledningen viser at den frie partikkelen i hvert øyeblikk fortsetter å gå i den retningen som firehastigheten angir.
Redigeringsforklaring:
Merk at alle bidrag til Wikisida.no anses som frigitt under Creative Commons Navngivelse-DelPåSammeVilkår (se
Wikisida.no:Opphavsrett
for detaljer). Om du ikke vil at ditt materiale skal kunne redigeres og distribueres fritt må du ikke lagre det her.
Du lover oss også at du har skrevet teksten selv, eller kopiert den fra en kilde i offentlig eie eller en annen fri ressurs.
Ikke lagre opphavsrettsbeskyttet materiale uten tillatelse!
Avbryt
Redigeringshjelp
(åpnes i et nytt vindu)
Denne siden er medlem av 1 skjult kategori:
Kategori:1000 artikler enhver Wikipedia bør ha
Navigasjonsmeny
Personlige verktøy
Ikke logget inn
Brukerdiskusjon
Bidrag
Opprett konto
Logg inn
Navnerom
Side
Diskusjon
norsk bokmål
Visninger
Les
Rediger
Rediger kilde
Vis historikk
Mer
Navigasjon
Forside
Siste endringer
Tilfeldig side
Hjelp til MediaWiki
Verktøy
Lenker hit
Relaterte endringer
Spesialsider
Sideinformasjon