Redigerer Ugyldige bevis (avsnitt)

=== Bevis for at 0 = 1 ===

Start med beregningen av det [[ubestemte integral]]et
:<math>\int \frac{1}{x} dx</math>
Med delvis integrasjon la 
:<math>u=\frac{1}{x}, \quad dv=dx</math>
slik at
:<math>du=-\frac{1}{x^2}dx, \quad v=x</math>
som gir
:<math>\int \frac{1}{x} dx=\frac{x}{x} - \int \left ( - \frac{1}{x^2} \right ) x dx</math>
:<math>\int \frac{1}{x} dx=1 + \int \frac{1}{x} dx</math>
som ved å samle like ledd blir
:<math>0 = 1 \,</math>

''Q.E.D.''

Feilen her ligger i uriktig bruk av [[delvis integrasjon]]. Når man anvender formelen må det legges til en tilfeldig konstant ''K'' på høyre side av ligningen. Dette kommer av utledningen av formelen for delvis integrasjon, som inneholder integreringen av en ligning. Vanligvis ser man bort fra denne konstanten helt til siste slutt, men her må konstanten legges til med en gang fordi de resterende integralene opphever hverandre.

Med andre ord er nest siste linje korrekt, men den siste linjen er ikke det. Du kan ikke fjerne <math>\int 1/x \,dx</math>fordi de nødvendigvis ikke er like. Det er uendelig mange antideriverte av en funksjon som alle skiller seg fra hverandre med en konstant. I dette tilfellet skiller konstantene seg med 1.

Problemet kan unngås hvis vi bruker [[bestemte integral]]er. I andre linje vil da 1 evaluert mellom noen grenser som alltid vil bli lik 1 - 1 = 0. De gjenstående integralene vil da være identiske.