Redigerer Projektivt plan (avsnitt)

==Korrelasjoner og polariteter==
Mens en projektiv transformasjon fra punkt til punkt eller fra linje til linje, kalles en kollineasjon, blir en lineær transformasjon fra et punkt til en linje (eller omvendt) omtalt som en ''korrelasjon''. Matematisk kan en slik transformasjon fra et punkt '''x''' til en linje '''m'''&thinsp; skrives som {{nowrap|'''m'''<sup>''T''</sup> {{=}} ''B''&sdot;'''x'''&thinsp;}} hvor ''B'' er en 3&times;3 matrise. Her er '''m'''<sup>''T''</sup>&thinsp; den transponerte av linjematrisen '''m'''&thinsp; og derfor en kolonnematrise. Punkter på en linje transformeres til linjer gjennom et punkt. På samme måte transformes en linje '''n'''&thinsp; til et punkt {{nowrap|'''y'''<sup>''T''</sup> {{=}} '''n'''&sdot;''B''<sup>&thinsp;-1</sup>}}. For at den inverse matrisen ''B''<sup>&thinsp;-1</sup>&thinsp; skal kunne beregnes, må [[determinant]]en |''B''&thinsp;| &ne; 0. Denne transformasjonen tar linjer gjennom et punkt til punkt på en linje.

=== Pol og polare ===
Hvis en korrelasjonen tar et punkt til en linje, vil denne linjen i alminnelighet ikke bli transformert tilbake til samme punkt. For at det skal kunne skje må den tilsvarende transformasjonsmatrisen ''C'' være symmetrisk. Da er ''C<sub>ij</sub> = C<sub>ji</sub>'' som betyr at ''C = C<sup>T</sup>''. Korrelasjonen kalles nå for en ''polaritet''. Det er da vanlig å kalle linjen {{nowrap|'''m'''<sup>''T''</sup> {{=}} ''C''&sdot;'''x'''&thinsp;}} for ''[[pol og polare|polaren]]'' til punktet {{nowrap|'''x'''<sup>''T''</sup> {{=}} '''m'''&sdot;''C''<sup>&thinsp;-1</sup>}} som igjen kalles for  ''[[pol og polare|polen]]'' til linjen '''m'''.

Gitt to punkt '''x''' og '''y'''&thinsp;, vil en polaritet ''C''&thinsp; gi opphav til to polarer {{nowrap|'''m'''<sup>''T''</sup> {{=}} ''C''&sdot;'''x'''&thinsp;}} og {{nowrap|'''n'''<sup>''T''</sup> {{=}} ''C''&sdot;'''y'''&thinsp;}}. Hvis nå '''x''' ligger på polaren til '''y''', vil {{nowrap|'''n'''&sdot;'''x''' {{=}} 0}}. Men nå er {{nowrap|'''n''' {{=}} '''y'''<sup>''T''</sup>&sdot;''C''}} slik at ligningen for polaren  kan skrives som {{nowrap|'''x'''<sup>''T''</sup>&sdot;''C''&sdot;'''y''' {{=}} 0}} etter transponering. Da dette er lik med {{nowrap|'''m'''&sdot;'''y''' {{=}} 0}}, betyr det også at punktet '''y''' ligger på polaren til '''x'''. To slike punkt sies å være ''konjugerte''. 

Fra dette følger at når et punktet beveger seg langs polaren til et annet punkt, vil polaren til det første punktet rotere rundt polen til det andre. Dette er innholdet av et teorem som var kjent på midten av [[1600]]-tallet. Det tilskrives vanligvis [[Phillipe de La Hire|La Hire]] som var influert av arbeidene til [[Girard Desargues|Desargues]] og [[Blaise Pascal|Pascal]].