Redigerer Kvantemekanikk (avsnitt)

==Dirac-formalisme==
[[Fil:Paul Dirac, 1933, head and shoulders portrait, bw.jpg|thumb|200px|Paul Dirac i 1933.]]
Heisenbergs matrisemekanikk og Schrödingers bølgemekanikk viste seg snart å være to forskjellige, men ekvivalente fremstillinger av samme kvantemekanikk. Dette kan enklest vises ved bruk av [[bra-ket-notasjon]]en som ble utviklet av [[Paul Dirac]] og basert på [[lineær algebra]] i et  [[Hilbert-rom]]. En kvantetilstand er en «ket-vektor» <math>|\Psi\rangle</math> i dette rommet. Den duale eller adjungerte vektor <math>\langle\Psi |</math> kalles en «bra-vektor» og inngår i  et [[reelt tall|reelt]] [[indreprodukt]] <math>\langle \Psi|\Psi\rangle > 0. </math> For to forskjellige vektorer <math>|\Psi_i\rangle</math>  og <math>|\Psi_j\rangle</math>  er det definert  slik at <math>\langle \Psi_i|\Psi_j\rangle = \langle \Psi_j|\Psi_i\rangle ^*.</math>  Er produktet lik null, sies vektorene å være «ortogonale» i forhold til hverandre.<ref name = RPF-QM>R.P. Feynman, ''Lectures on Physics'', Volume III, [[Caltech]] (1964). [https://www.feynmanlectures.caltech.edu/III_08.html Online versjon]</ref>

For et kvantesystem med et ''N''-dimensjonalt Hilbert-rom <math>\cal{H}_N</math> kan det introduseres et [[Vektorrom#Basis og dimensjon|basissystem]] <math> |1\rangle,  |2\rangle, \ldots,  |N\rangle </math> slik at hver vektor kan skrives som

: <math>  |\Psi\rangle = \sum_{n=1}^N \psi_n  |n\rangle </math>

hvor de [[komplekst tall|komplekse]] tallene <math> \psi_n </math> er vektorens komponenter. Basisvektorene er lineært uavhengige av hverandre og utgjør et «fullstendig sett» av vektorer. De er ortogonale til hverandre, og det er mest hensiktsmessig å velge dem med samme lengde eller norm. Da er <math>\langle m|n \rangle = \delta_{mn} </math> hvor [[Kronecker-delta]]et på høyre side er null for forskjellige vektorer og én når indeksene er de samme. Man har da en «ortonormert» basis. 

Komponentene til en vektor <math>  |\Psi\rangle </math> er nå gitt som <math> \psi_n =  \langle n|\Psi \rangle.</math>  Det indre produkt mellom denne vektoren og en annen vektor  <math> |\Phi\rangle </math> med komponenter <math> \phi_n =  \langle n|\Phi \rangle </math> blir dermed

: <math>  \langle \Psi|\Phi\rangle  = \sum_{n=1}^N \psi_n^*\phi_n </math>

og kan ta hvilken som helst verdi. Det omtales også ofte som ''projeksjonen'' av den ene vektoren på den andre.<ref name = Griffiths/>

===Operatorer og hermitisitet===

Uttrykket for en generell vektor kan omformes til

: <math>  |\Psi\rangle = \sum_{n} \psi_n  |n\rangle = \sum_{n} |n\rangle \langle n|\Psi\rangle  </math>

Det er derfor naturlig å betrakte summen

: <math> \hat{I} =  \sum_{n} |n\rangle \langle n|  </math>

med produkter av vektorene i et fullstendig sett som en «identitetsoperator». Den kan virke på hvilken som helst vektor og dermed gi nøyaktig den samme vektoren. Vanligvis settes den derfor ganske enkelt lik med <math>  \hat{I} = 1.</math> En generell operator kan skrives på formen

: <math>  \hat{A} =  \sum_{m,n} A_{mn} |m\rangle \langle n|  </math>

og vil I alminnelighet resultere i en annen vektor <math>  |\Psi'\rangle </math> i det samme Hilbert-rommet. Det følger fra

: <math> \begin{align} \hat{A}  |\Psi\rangle &= \sum_{m,n} A_{mn} |m\rangle \langle n|\Psi\rangle  =  \sum_{m,n} A_{mn}\psi_n  |m\rangle \\ &=  |\Psi'\rangle =  \sum_{m} \psi'_m |m\rangle  \end{align}</math>

der den nye vektoren har de transformerte komponentene <math> \psi'_m = \sum_nA_{mn} \psi_n . </math> Produktet av to operatorer er vanligvis avhengig av deres rekkefølge. Dette uttrykkes ved deres '''kommutator'''

: <math> [\hat{A}, \hat{B}] = \hat{A}\hat{B} - \hat{B}\hat{A} </math>

som i alminnelighet er en ny operator. Den inverse  <math>  \hat{A}^{-1} </math> av en operator  <math>  \hat{A} </math> er definert ved at  <math> \hat{A} \hat{A}^{-1}  = \hat{A}^{-1} \hat{A} = \hat{I} .</math> Derfor er den inverse av et produkt gitt ved produktet av de inverse i motsatt rekkefølge da

: <math> (\hat{A}\hat{B})^{-1}\hat{A}\hat{B} = \hat{B}^{-1}\hat{A}^{-1}\hat{A}\hat{B} =  \hat{B}^{-1}\hat{B} = \hat{I}.
</math>

De komplekse koeffisientene <math> A_{mn} =  \langle m|\hat{A}|n \rangle </math> utgjør komponentene til operatoren <math>  \hat{A} .</math> Tilsammen utgjør de en <math> N \times N </math> [[matrise]]. Den [[Matrise#Konjungert transponering|hermitisk adjungerte]] matrisen <math> A^\dagger </math> med element <math> A_{mn}^\dagger = A_{nm}^* </math> definerer en hermitisk adjungert operator  <math> {\hat A}^\dagger. </math> Den har derfor den viktige egenskapen

: <math> \langle\Phi |\hat{A} |\Psi\rangle^* =  \langle\Psi |\hat{A}^\dagger |\Phi\rangle </math>

Hermitisk adjungering er en utvidelse av vanlig, [[kompleks konjugasjon]]. Operasjonen kan også virke på en ket-vektor og gi den tilsvarende bra-vektor eller omvendt. Mer generelt gjelder

: <math> (\hat{A} |\Psi\rangle )^\dagger = \langle\Psi |\hat{A}^\dagger </math>

En operator som er lik sin hermitisk adjungerte, sies å være «selvadjungert» eller ganske enkelt '''hermitisk'''. De spiller en sentral rolle i kvantemekanikken.<ref name = Dirac-QM>P.A.M. Dirac, ''The Principles of Quantum Mechanics'', Oxford at the Clarendon Press, Oxford (1947).</ref>

===Egenvektorer og egenverdier===

Når en operator <math>  \hat{A} </math> virker på en tilstand eller vektor <math>  |\Psi\rangle </math> og resultatet er en vektor i samme retning slik at

: <math>   \hat{A} |\Psi\rangle = a |\Psi\rangle , </math>

sies vektoren å være en [[egenvektor]] til denne operatoren. Tallet ''a&thinsp;'' vil i alminnelighet være komplekst og kalles en '''egenverdi''' til operatoren. Men i det tilfellet at operatoren er hermitisk, er egenverdien et reelt tall. Det følger fra en multiplikasjon med den adjungerte brå-vektoren 
<math>  \langle \Psi| </math> fra venstre som gir <math>   \langle \Psi| \hat{A} |\Psi\rangle = a \langle \Psi|\Psi\rangle . </math> Begge de to indreproduktene her er nå reelle og derfor er også egenverdien ''a&thinsp;'' reell.

En operator kan generelt ha flere forskjellige egenverdier. De tilsvarende egenvektorene vil da være ortogonale. Det følger fra de to egenverdiligningene

: <math>  \hat{A} |\Psi_m\rangle = a_m |\Psi_m\rangle , \;\;\;  \hat{A} |\Psi_n\rangle = a_n |\Psi_n\rangle </math>

Her kan den første ligningen multipliseres med <math>  \langle \Psi_n| </math> fra venstre. Når man så benytter samtidig den andre ligningen på formen <math>  \langle \Psi_n| \hat{A} = a_n \langle \Psi_n|, </math> ser man at <math> (a_m - a_n)  \langle \Psi_n |\Psi_m\rangle = 0 . </math> Hvis de to egenverdiene er forskjellige, må derfor indreproduktet av de tilsvarende egenvektorene være lik med null.<ref name = Dirac-QM/>

På lignende måte er det lett å vise at hvis en vektor <math>  |\Psi\rangle </math> er samtidig egenvektor til to forskjellige operatorer  <math>  \hat{A} </math> og  <math>  \hat{B}, </math> må disse operatorene kommutere med hverandre, det vil si <math> [\hat{A}, \hat{B}] = 0. </math> En egentilstand kan derfor karakteriseres ved egenverdiene til alle operatorer som kommuterer med hverandre. Hvis derimot de to operatorene ikke kommuterer med hverandre, kan de ikke måles eller bestemmes samtidig. Gjøres det, vil resultatet være beheftet med en usikkerhet som matematisk kan uttrykkes ved [[Heisenbergs uskarphetsrelasjon]].

Et grunnleggende teorem i [[lineær algebra]] er at alle egenvektorene til en hermitisk operator utgjør et «fullstendig sett». Det betyr at de kan benyttes som basisvektorer i det tilsvarende Hilbert-rommet. Hver slik operator gir derfor et gangspunkt for å konstruere en tilsvarende basis i dette rommet. Det muliggjør også transformasjoner mellom matriserepresentasjoner av operatorer i forskjellige basissystem.

===Kvantemekanikkens postulater===

Klassisk mekanikk er basert på forskjellige lover. De kan være utformet på forskjellig vis, men beskriver de samme fysiske fenomen. Eksempel på slike ulike formuleringer kan være [[Newtons bevegelseslover]] eller [[Hamiltons virkningsprinsipp]].

På samme måte er kvantemekanikk basert på noen få antagelser.<ref name = Dirac-QM/> Disse kan summeres opp i tre grunnleggende postulat:

# For hver observerbar størrelse ''A&thinsp;'' eller ''obervabel&thinsp;'' finnes det en tilsvarende, hermitisk operator <math> \hat{A}. </math>  En måling av denne størrelsen vil gi en av operatorens egenverdier. Den viktigste operatoren er [[Hamilton-operator]]en <math> \hat{H} </math> hvis egenverdier er systemets mulige energier.
# Resultatet av en måling av en eller flere observable til et kvantesystem ved tiden ''t&thinsp;'' er kodet inn i en tilstandsvektor <math>  |\Psi \rangle = |\Psi,t \rangle </math> i Hilbert-rommet for systemet. Så lenge vektoren ikke er en egentilstand av den observable <math> \hat A, </math> vil en måling av denne gi et midlere resultat   <math> \langle\hat{A}\rangle = \langle \Psi| \hat{A} |\Psi\rangle </math> når tilstanden er normert som <math>\langle \Psi|\Psi\rangle = 1. </math> 
# Tilstandsvektoren til systemet forandrer seg med tiden ifølge den tidsavhengige [[Schrödinger-ligning]]en
: <math> \;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\; i\hbar{\partial\over\partial t} |\Psi,t\rangle = \hat{H} |\Psi,t\rangle </math>

Størrelsen til alle resulterende kvanteeffekter er bestemt av den reduserte [[Plancks konstant|Planck-konstanten]]  {{nowrap|''ħ'' {{=}} ''h''/2''&pi;&thinsp;''}} som Dirac innførte.

=== Observasjon og målinger===

Begrepene oberservasjon og måling av en observabel <math>  \hat{A} </math> brukes ofte om hverandre. Ved én enkelt måling tilordnes en verdi til denne størrelsen som er en av operatorens egenverdier <math> a_m </math> bestemt ved egenverdiligningen  <math> \hat{A} |m\rangle = a_m |m\rangle. </math> Dette representerer en observasjon og betyr i praksis en forandring i en makroskopisk, klassisk størrelse som kan registrere og lagre verdien. Direkte etter observasjonen befinner kvantesystemet seg i egentilstanden <math> |n\rangle </math> og vil videre utvikle seg med tiden på en deterministisk måte gitt ved Schrödinger-ligningen.<ref name = Weinberg/>

På et senere tidspunkt befinner systemet seg i en ny tilstand <math>  |\Psi \rangle </math>  som i alminnelighet ikke er noen egentilstand til den samme operatoren. En ny måling vil derfor kanskje gi en annen egenverdi. Men operatorens egenvektorer danner et fullstendig sett slik at man generelt har <math> |\Psi\rangle = \sum_n \psi_n |n\rangle </math> med <math> \psi_n = \langle n|\Psi\rangle. </math> Da vil

: <math>  \langle \Psi| \hat{A} |\Psi\rangle = \sum_n \psi_n \langle \Psi|\hat{A}|n\rangle = \sum_n a_n |\psi_n|^2 </math>

Hvis man nå benytter normeringen <math>\langle \Psi|\Psi\rangle = 1 </math>  som betyr at

: <math> \sum_n |\psi_n|^2 = 1, </math>

kan man betrakte <math> P_n = |\psi_n|^2 </math> som sannsynligheten for at systemet <math>  |\Psi \rangle </math> er i egentilstanden <math>  |n\rangle .</math> Av denne grunn kalles det komplekse tallet <math> \psi_n = \langle n|\Psi\rangle </math> for '''sannsynlighetsamplituden''' for at dette skal være tilfelle. Uttrykket <math>\langle \Psi| \hat{A} |\Psi\rangle </math> gir derfor den midlere verdi for den observable <math>  \hat{A} </math> når systemet er i en vilkårlig tilstand <math>  |\Psi \rangle .</math> Den kalles også for ''forventningsverdien''.<ref name = RPF-QM/>

En måling av denne midlere verdien er ganske omstendelig. Mens hver enkeltmåling gir en egenverdi, vil forventningsverdien kreve at
man disponerer over et stort antall identiske system som tilberedes i eksakt samme tilstand. Den midlere verdien av et stort antall målinger av samme observabel på disse systemene, som hver for seg gir en egenverdi, vil da gi  dens forventningsverdi  <math> \langle\hat{A}\rangle </math> utregnet som i vanlig [[sannsynlighetsregning]].

===Tidsutvikling og Heisenberg-bilde===

For et stasjonært system er Hamilton-operatoren uavhengig av tiden. Den tidsavhengige Schrödinger-ligningen kan da integreres direkte til å gi tilstandsvektoren ved et senere tidspunkt. Resultatet kan skrives som <math>  |\Psi,t\rangle = \hat{U}(t)  |\Psi, 0\rangle </math> hvor

:  <math>  \hat{U}(t) = e^{-i\hat{H}t/\hbar}  </math>

er «tidsutviklingsoperatoren». Mens denne bringer systemet fremover i tid, vil den inverse operatoren

:  <math>  \hat{U}^{-1}(t) =  \hat{U}(-t) = e^{i\hat{H}t/\hbar}  </math>

bringe det bakover i tid. Da Hamilton-operatoren er hermitisk, vil dette også være lik med den adjungerte operatoren <math> \hat{U}^\dagger(t).  </math> Det betyr at  den oppfyller <math>  \hat{U}^\dagger  \hat{U} = \hat{U}   \hat{U}^\dagger  = \hat{I}.  </math> En slik operator sies å være '''unitær'''. For tidsutviklingsoperatoren betyr det rent fysisk at systemet vil forbli i en eller annen kvantetilstand i det samme Hilbert-rommet.<ref name = Merzbacher>E. Merzbacher, ''Quantum Mechanics'', John Wiley & Sons, New York (1961).</ref>

Hvis man betrakter et veldig kort tidsrom ''&tau;&thinsp;'', så vil ikke systemet forandres så mye. Tidsutviklingsoperatoren kan da skrives som

: <math> \hat{U}(\tau) = \hat{I} - {i\over\hbar}\hat{H}\tau + \cdots </math>

Fra denne sammenhengen ser man at Hamilton-operatoren får systemet til å forandre seg i korte øyeblikk eller at den er en '''generator''' for slike forandringer. En endelig forandring over en tid ''t'' = ''n&tau;&thinsp;'' kan så bygges opp av ''n&thinsp;'' små transformasjoner etterfulgt av hverandre eller <math>  \hat{U}(t)  = \hat{U}(\tau) \hat{U}(\tau) \cdots \hat{U}(\tau). </math> I grensen hvor ''&tau;&thinsp;'' blir tilstrekkelig liten har man da

: <math>   \hat{U}(t)  = \left(\hat{I} - {i\over\hbar}\hat{H}{t\over n}\right)^n = e^{-i\hat{H}t/\hbar} </math>

ut fra definisjonen av [[eksponentialfunksjon]]en i grensen der ''n&thinsp;'' blir veldig stor.

Denne fremstilling av tidsutviklingen er gjort i det som kalles «Schrödinger-bildet». Den skyldes at tilstandsvektoren for systemet varierer med tiden. Forventningsverdien av en operator

: <math> \langle\hat{A}\rangle(t)  = \langle \Psi,t| \hat{A} |\Psi,t\rangle = \langle\Psi,0|  e^{i\hat{H}t/\hbar} \hat{A}\,  e^{-i\hat{H}t/\hbar} |\Psi,0 \rangle </math>

vil dermed også variere med tiden. Formen til dette uttrykket kan også beskrives som om tilstanden til systemet ikke forandrer seg, men at det er operatoren som blir tidsavhengige. Man sier da at man har en fremstilling i «Heisenberg-bildet» hvor tilstandsvektoren er konstant <math>|\Psi\rangle_H = |\Psi,0 \rangle ,</math> og operatorene varierer med tiden som

: <math> \hat{A}_H(t) = e^{i\hat{H}t/\hbar} \hat{A}\,  e^{-i\hat{H}t/\hbar} </math>

Den samme forventningsverdien kan derfor skrives alternativt som <math> \langle\hat{A}\rangle(t) =  \;_H\langle\Psi| \hat{A}_H(t)|\Psi \rangle_H .</math>

Ved derivasjon finnes den differensielle formen

: <math>\begin{align} i\hbar {d\over dt}\hat{A}_H(t)  &= - e^{i\hat{H}t/\hbar} \hat{H}\hat{A}  e^{-i\hat{H}t/\hbar} + e^{i\hat{H}t/\hbar} \hat{A}\hat{H}  e^{-i\hat{H}t/\hbar} \\ &= [\hat{A}_H(t), \hat{H}] \end{align} </math>

for tidsutvikling av en operator i Heisenberg-bildet. Det er den samme loven som Heisenberg kom frem til i sitt arbeid som grunnla [[Matrisemekanikk#Kvantedynamikk|matrisemekanikken]].<ref name = Merzbacher/>

===Stasjonære tilstander og energibasis===

En stasjonær tilstand med energi ''E&thinsp;'' er definert å ha den enkle tidsavhengigheten

: <math> |E,t\rangle = |E \rangle e^{-iEt/\hbar} </math>

hvor tilstanden <math>  |E \rangle </math> må være en egentilstand av Hamilton-operatoren <math> \hat{H} . </math>  For et vilkårlig sett av ''N&thinsp;'' ortonormerte basisvektorer kan den da skrives som

: <math>  |E \rangle  = \sum_{n=1}^N u_n |n\rangle </math>

hvor <math> u_n =  \langle n|E\rangle </math> nå er sannsynlighhetsamplituden for å finne systemet <math> |E \rangle </math> I tilstand <math> |n\rangle .</math> Egenverdiligningen <math> \hat{H}  |E \rangle = E  |E \rangle </math> i denne basisen tar dermed formen

: <math> \sum_{n=1}^N H_{mn} u_n = E u_m </math>

hvor tallene <math>  H_{mn} = \langle m|\hat{H}|n \rangle </math> er matriseelementene av Hamilton-operatoren. Disse ligningene for de ukjente sannsynlighhetsamplitudene utgjør nå et [[lineært ligningssett]] som kun har løsninger for bestemte verdier av ''E''. De er dermed [[egenverdi]]er ''E<sub>n</sub>&thinsp;'' til Hamilton-operatoren og kan finnes ved å [[Egenverdi#Diagonalisering|diagonalisere]] den  tilsvarende ''N'' &times; ''N'' dimensjonell matrisen.<ref name = RPF-QM/>

Tidsutviklingen til en vilkårlig tilstand <math>  |\Psi\rangle </math> følger fra den tidsavhengige Schrödinger-ligningen. Sannsynligheten for at denne tilstanden skal befinne seg i basistilstanden <math> |m \rangle </math> ved tiden ''t&thinsp;'' er gitt ved amplituden  <math>  \psi_m(t) = \langle m |\Psi, t \rangle .</math>  Dennes forandring med tiden følger derfor fra

: <math>  i\hbar{\partial\over\partial t} \langle m|\Psi,t\rangle = \langle m |\hat{H} |\Psi,t\rangle  </math>

Ved her å sette inn enhetsoperatoren <math> \hat{I} = \sum_n |n\rangle\langle n |, </math> tar denne ligningen formen

: <math> i\hbar {d\psi_m\over dt} = \sum_{n=1}^N H_{mn}\psi_n(t) </math>

som utgjør et sett av ''N&thinsp;'' lineære differensialligninger av første orden.<ref name = RPF-QM/> De kan nå formelt løses ved å første uttrykke tilstanden <math>  |\Psi\rangle </math> i energibasisen <math> |E_n\rangle </math> som egenvektorene  til Hamilton-operatoren danner. Det gir
 
: <math> |\Psi\rangle =   \sum_{n=1}^N C_n |E_n\rangle </math>

hvor koeffisientene ''C<sub>n</sub>'' spesifiserer tilstanden. Den har nå en tidsutvikling

: <math> |\Psi, t \rangle =  e^{-i\hat{H}t/\hbar} |\Psi\rangle =  \sum_{n=1}^N C_n e^{-iE_nt/\hbar} |E_n\rangle </math>

Dermed kan den generelle løsningen av den tidsavhengige Schrödinger-ligningen skrives som

: <math> \psi_m(t) = \langle m |\Psi, t \rangle = \sum_{n=1}^N C_n e^{-iE_nt/\hbar} \langle m|E_n\rangle </math>

og inneholder eksplisitt egenverdiene til Hamilton-operatoren. I tillegg avhenger den  av sannsynlighetsamplitudene <math> \langle m|E_n\rangle </math> som er ''m''-komponentene til de tilsvarende egenvektorene.

I Heisenbergs første arbeid om matrisemekanikk benyttet han en slik energibasis hvor Hamilton-operatoren var representert ved en diagonal matrise.<ref name = MIT/>

===Eksempel: Hydrogenmolekyl===

Et system med bare to tilstander vil gi en enkel illustrasjon av denne kvantemekaniske formalismen. Hamilton-operatoren er da representert ved en 2&times;2 matrise og systemets tidsutvikling kan lett beregnes. For å være mer konkret, kan man tenke seg et ionisert [[hydrogen]]molekyl. Det har ett elektron som er påvirket av to [[proton]] som man kan tenke seg ligger i ro. I den enkleste beskrivelsen av dette systemet tenker man seg at elektronet kan befinne seg ved det ene eller det andre protonet. Det tilsvarer å innføre ''N'' = 2  basistilstander <math> |1\rangle </math> og <math> |2\rangle . </math> En mer detaljert fremstilling av molekylet ville krevd en enda større basis, men dette minimale valget vil likevel gi nyttig informasjon om dets kvantefysikk.<ref name = RPF-mol>R.P. Feynman, [https://www.feynmanlectures.caltech.edu/III_10.html ''Other Two-State Systems''], Feynman Lectures at [[Caltech]] (1964).</ref>

Den tidsavhengige Schrödinger-ligningen gir nå de to ordnære differensialligningene

: <math>\begin{align} i\hbar{d\psi_1\over dt} &= H_{11}\psi_1 + H_{12}\psi_2 \\  i\hbar{d\psi_2\over dt} &= H_{21}\psi_1 + H_{22}\psi_2 \end{align} </math>

Da Hamilton-operatoren er hermitisk, må de to elementene {{nowrap|''H''<sub>11</sub> {{=}} ''E''<sub>1</sub>}} og {{nowrap|''H''<sub>22</sub> {{=}} ''E''<sub>2</sub>}}  være reelle. I tillegg må man ut fra symmetrien til systemet ha at de er like store, ''E''<sub>1</sub> = ''E''<sub>2</sub> = ''E''<sub>0</sub>. De ikke-diagonale elementene ''H''<sub>12</sub> og ''H''<sub>21</sub> er av samme grunn komplekst konjugerte av hverandre, men kan velges reelle med den hensiktsmessige verdien -''A&thinsp;'' ved et passende valg av basisvektorer. Hamilton-operatoren for dette systemet blir på denne måten representert ved matrisen

: <math> H =  \begin{pmatrix} E_0 & - A\\ -A & E_0 \end{pmatrix} </math>

hvor både ''E''<sub>0</sub> og ''A&thinsp;'' antas å være positive størrelser. De ikke-diagonale elementene betyr at hvis elektronet befinner seg ved ett proton, har det en viss sannsynlighet for å hoppe over til det andre.<ref name = RPF-mol/>

[[Fil:Two-sites.jpg|left|thumb|600px|Elektronet kan være nær det ene eller det andre protonet i hydrogenmolekylet. Det tilsvarer de to kvantetilstandene <math> |1\rangle </math> og <math> |2\rangle . </math>]]
Egenverdiene til systemet kan nå finnes direkte ved å legge sammen eller ved å trekke de to ligningene fra hverandre. Det gir at {{nowrap|''&psi;''<sub>1</sub> + ''&psi;''<sub>2</sub>}} er amplituden for en egentilstand med energi ''E''<sub>0</sub> - ''A''. Den tilsvarende egenvektorer er <math>  |E_+\rangle = |1\rangle +  |2\rangle. </math> Likedan representerer {{nowrap|''&psi;''<sub>1</sub> - ''&psi;''<sub>2</sub>}}  en egenvektor <math>  |E_-\rangle = |1\rangle -  |2\rangle </math> med egenverdi ''E''<sub>0</sub> + ''A''. De utgjør de to stasjonære tilstandene for systemet. Hvis elektronet starter ut i en av disse tilstandene, vil sannsynligheten for at det forblir i samme tilstand, ikke forandre seg med tiden.

Hvis derimot elektronet i utgangspunktet  ikke befinner seg i en energetisk egentilstand, vil sannsynligheten for å bli værende i denne, variere ettersom tiden går. Det kan man for eksempel se ved å anta at elektronet ved tiden ''t'' = 0 befinner seg i posisjon <math> |1\rangle. </math> Løsning av de to ligningene  gir da

: <math> \psi_1(t) = e^{-iE_0 t/\hbar}\cos At/\hbar , \;\;  \;\;  \psi_2(t) = ie^{-iE_0 t/\hbar}\sin At/\hbar </math>
 
Sannsynligheten for å være ved det ene eller ved det andre protonet vil da variere som <math> P_1 = |\psi_1(t)|^2 = \cos^2\!At/\hbar </math> og <math> P_2 = |\psi_2(t)|^2 = \sin^2\!At/\hbar. </math>  Elektronet vil oscillere mellom de to protonene med en frekvens som er gitt ved det ikke-diagonale elementet ''A''. Systemet er unitært i den forstand at  <math> P_1 + P_2 = 1 </math> og uttrykker bevarelse av sannsynlighet.

Den stasjonære tilstanden <math>  |E_+\rangle </math> representerer en [[Bindingsenergi|bunden]] tilstand da den har lavere energi enn om elektronet sitter bundet til bare én av protonene. Tilstanden er symmetrisk i de to protonene og man kan ikke med sikkerhet si om elektronet er på det ene eller andre av disse. Det befinner seg på et vis mellom dem og holder molekylet sammen. I denne tilstanden er det plass til enda et elektron som gir et  sterkere bundet, nøytralt hydrogenmolekyl. På grunn av [[Paulis eksklusjonsprinsipp]] vil et tredje elektron måtte plasseres i den energetisk høyere tilstanden <math>  |E_-\rangle </math>. Et negativt ladet hydrogenmolekyl vil dermed være ustabilt i overensstemmelse med hva som er kjent fra dets [[kjemi]].<ref name = Atkins>P.W. Atkins, ''Physical Chemistry'', Oxford University Press, Oxford (1988). ISBN 0-19-855186-X.</ref>