Redigerer Harmonisk oscillator (avsnitt)

===Egenmoder fra matriser===

Beregning av egenmoder for flere koblete oscillatorer gjøres mest systematisk ved bruk av [[matrise]]r. En egensvingning er karakterisert ved at massene svinger med samme frekvens og fase. Med to masser antar man da at begge svinger som

: <math> x_i(t) = a_i\cos(\omega t - \phi) </math>

hvor  ''i'' = 1,2 og  ''a<sub>i&thinsp;</sub>''&thinsp; er foreløbig to ukjente konstanter. Settes dette inn i de to bevegelsesligningene, får man ligningsettet

: <math>\begin{align} -\omega^2 a_1 &= -2\omega_0^2a_1 + \omega_0^2a_2 \\
       -\omega^2 a_2 &=  - 2\omega_0^2a_2  + \omega_0^2a_1 \end{align}
</math>

etter å ha kansellert den felles cosinus-faktor og innført ''&omega;''<sub>0</sub> = &radic;(''k/m''). Dette kan skrives på matriseformen

: <math> M\mathbf{a} = \omega^2\mathbf{a} </math>

ved å definere vektoren '''a''' = (''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>) og matrisen

: <math>M = \omega_0^2\begin{bmatrix}  2 & -1 \\  - 1 & 2 \end{bmatrix} </math>

[[Fil:Coupled oscillators.gif|frame|right|De to pendlene er festet til en elastisk streng slik at de utfører koblete oscillasjoner.]]
Denne er symmetrisk og vil derfor ha to reelle [[egenvektor|egenverdier]] som er de mulige egenfrekvensene. Verdiene finnes fra betingelsen

: <math> \det(M - \omega^2I) = 0 </math>

hvor ''I'' er 2&thinsp;&times;&thinsp;2 [[matrise|enhetsmatrisen]]. Skrevet ut, blir denne egenverdiligningen

: <math> (2\omega_0^2 - \omega)^2 - \omega_0^4 = 0 </math>

hvis løsninger er gitt ved ''&omega;''<sup>2</sup> = 2''&omega;''<sub>0</sub><sup>2</sup> &plusmn; ''&omega;''<sub>0</sub><sup>2</sup>. Det gir de samme frekvensene ''&omega;''<sub>1</sub> og ''&omega;''<sub>2</sub> som funnet tidligere.

Etter å ha funnet egenfrekvensene kan man så beregne amplitudene ''a''<sub>1</sub>&thinsp; og ''a''<sub>2</sub>&thinsp; som inngår i vektoren '''a'''. For løsningen {{nowrap|''&omega;''<sub>1</sub> {{=}} ''&omega;''<sub>0</sub>&thinsp;}} blir {{nowrap|''a''<sub>1</sub>/''a''<sub>2</sub> {{=}} 1}}, mens for løsningen {{nowrap|''&omega;''<sub>2</sub> {{=}} &radic;3&thinsp;''&omega;''<sub>0</sub>&thinsp;}} blir {{nowrap|''a''<sub>1</sub>/''a''<sub>2</sub> {{=}} -1}}. Det er hensiktsmessig å la disse to egenmodene være beskrevet ved [[vektor (matematikk)|enhetsvektorer]] slik at de dermed er

: <math> \mathbf{a}_1 = \sqrt{1\over 2}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \;\;\; \mathbf{a}_2 = \sqrt{1\over 2}\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}</math>

Disse to vektorene står [[vinkelrett]]e på hverandre da {{nowrap|'''a'''<sub>1</sub>&sdot;'''a'''<sub>2</sub> {{=}} 0.}} Det er typisk for [[egenvektor]]er som tilhører forskjellige egenverdier.

Den generelle svingetilstanden for disse to massene er nå en lineærkombinasjon av disse to løsningene multipliert med vilkårlige konstanter ''A''<sub>1</sub>&thinsp; og ''A''<sub>2</sub>. På den måten kan man skrive den som

: <math>\begin{align} \mathbf{x}(t) &= A_1\mathbf{a}_1\cos(\omega_1t - \phi_1)  + A_2\mathbf{a}_2\cos(\omega_2t - \phi_2) \\ 
        &= u_1(t) \mathbf{a}_1 +  u_2(t) \mathbf{a}_2 \end{align}</math>

hvor ''u''<sub>1</sub>&thinsp; og ''u''<sub>2</sub>&thinsp; er de tidligere funne egenmodene. Denne formen til den generelle løsningen kan tas over til å gjelde for et vilkårlig antall koblete oscillatorer.