Redigerer Elektrisk felt (avsnitt)

==Dipolfeltet==
[[Fil:EfieldTwoOppositePointCharges.svg|280px|thumb|right|Illustrasjon av det elektriske feltet rundt en positiv (rød) og en negativ (grønn) ladning.]]

Det elektrisk feltet fra en positiv og en like stor, men negativ ladning, kalles et «dipolfelt» i grensen hvor avstanden mellom dem blir tilstrekkelig liten. Betrakter man en Gauss-flate som omslutter begge ladningene, er da totalladningen innenfor flaten null. Like mye fluks må derfor gå ut av flaten som går inn i den. Derfor vil det elektriske feltet i stor avstand fra ladningene avta raskere enn 1/''r''<sup>2</sup>.

For å beregne feltet fra [[dipol]]en antar man at de er skapt av to punktladninger  ''q'' og ''-q'' som er separert med avstandsvektoren '''d''' som går fra den negative til den positive ladningen. Plasseres disse symmetrisk om origo, vil feltet i et punkt '''r''' består da av Coulomb-feltet fra den positive ladningen på stedet '''d'''/2&thinsp; pluss feltet fra den negative ladningen i posisjon  -'''d'''/2, det vil si

: <math> \mathbf{E}(\mathbf{r}) =   {q\over 4\pi\varepsilon_0}\left({\mathbf{r} - \mathbf{d}/2\over |\mathbf{r} - \mathbf{d}/2|^3} - {\mathbf{r} +\mathbf{d}/2\over |\mathbf{r} + \mathbf{d}/2|^3}\right) </math>

I dipolgrensen  hvor avstanden mellom ladningene  ''d'' = |'''d'''| << |'''r'''| = ''r'', kan man skrive

: <math> |\mathbf{r} \pm \mathbf{d}/2|^3 = r^2 \pm \mathbf{r}\cdot\mathbf{d} + d^2/4)^{3/2} = r(r^2 \pm {3\over 2}\mathbf{r}\cdot\mathbf{d}) </math>

når man ser bort fra høyere ordens ledd. Innsatt gir dette totalfeltet fra dipolen

: <math> \mathbf{E}(\mathbf{r}) =   {1\over 4\pi\varepsilon_0r^3}\Big[3(\mathbf{p}\cdot\hat\mathbf{r})\hat\mathbf{r} - \mathbf{p}\Big]  </math>

uttrykt ved enhetsvektoren <math>\hat\mathbf{r}</math> = '''r'''/''r'' og  det '''elektriske dipolmomentet''' '''p''' = ''q''&thinsp;'''d'''&thinsp; for de to ladningene. Det er en vektor med retning fra den negative til den positive ladningen. Dipolfeltet er symmetrisk om denne retningen.

Som et eksempel på bruk av dette resultatet, kan man betrakte en dipol i origo som ligger langs den positive ''x''-aksen. Da blir feltet lenger ut til høyre på denne aksen {{nowrap|'''E''' {{=}} 2''p''&thinsp;'''e'''<sub>''x''</sub>/4''&pi;&epsilon;''<sub>0</sub>''x''<sup>&thinsp;3</sup>}}, mens det i et punkt på ''y''-aksen er {{nowrap|'''E''' {{=}} ''-p''&thinsp;'''e'''<sub>''x''</sub>/4''&pi;&epsilon;''<sub>0</sub>''y''<sup>&thinsp;3</sup>}}.

I stedet for å beregne komponentene til dipolfeltet i [[kartesisk koordinatsystem|kartesiske koordinater]], kan man benytte [[polarkoordinatsystem|polarkoordinater]] (''r,&theta;''). Feltvektoren har da de to komponentene<ref name = Griffiths/>

: <math> E_r =  {2p\over 4\pi\varepsilon_0r^3}\cos\theta, \;\;\; E_\theta = {p\over 4\pi\varepsilon_0r^3}\sin\theta </math>

For punkter på ''x''-aksen, henholdsvis ''y''-aksen, er disse i overensstemmelse med resultatet for de kartesiske komponentene.

===Dipolpotensialet===
[[Fil:Electric dipole field lines.svg|thumb|right|210px|[[Feltlinje]]r fra en positiv og en negativ ladning som tilsammen utgjør en elektrisk dipol.]]

Det elektriske potensialet til en dipol følger direkte fra det mindre kompliserte uttrykket

: <math> V(\mathbf{r}) =   {q\over 4\pi\varepsilon_0}\left({1\over |\mathbf{r} - \mathbf{d}/2|} - {1\over |\mathbf{r} + \mathbf{d}/2|}\right) </math>

For store avstander kan dette forenkles på samme måte som for beregning av feltet. Resultatet kan skrives på den kompakte formen

: <math> V(\mathbf{r}) = {\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}\over 4\pi\varepsilon_0 r^3} </math>

Dipolfeltet kan nå gjenfinnes fra  {{nowrap|'''E''' {{=}} - '''&nabla;'''''V''&thinsp;}}. Det står overalt [[vinkelrett]] på flater gitt ved en konstant verdi av potensialet, det vil si det som kalles [[ekvipotensialflate]]r. 

Ved bruk av polarkoordinater tar dipolpotensialet formen

: <math> V(\mathbf{r}) = {p\cos\theta\over 4\pi\varepsilon_0 r^2} </math>

når dipolen ligger langs den positive ''x''-aksen slik at '''p'''&sdot;'''r''' = ''pr''&thinsp;cos''&theta;''. De to komponentene finnes nå lett fra [[gradient]]en i dette koordinatsystemet som gir {{nowrap|''E<sub>r</sub>'' {{=}} - &part;''V''/&part;''r''&thinsp;}} og  {{nowrap|''E<sub>&theta;</sub>'' {{=}} - (1/''r'')&part;''V''/&part;''&theta;''}}. Det gir det samme resultatet for disse komponentene på en mer direkte måte.

===Multipoler===

Et dipolpotensial kan oppstå fra ladningsfordelinger med mer enn to partikler. Har man like mange positive som negative ladninger ''q<sub>i</sub>&thinsp;'' i posisjoner '''r'''<sub>''i''</sub>, defineres deres dipolmoment som

: <math> \mathbf{p} = \sum_i q_i \mathbf{r}_i </math>

Tar man med høyere ordens ledd i utviklingen av potensialet fra hver av ladningene, vil det resulterende potensialet inneholde ledd som avtar med avstanden raskere enn dipolpotensialet. Dette kalles en [[multipolutvikling]]. For eksempel kan to positive og to negative ladninger som alle ligger nær hverandre, betraktes som to dipoler som ligger nær hverandre. Avhengig av deres relative plassering, kan de da gi opphav til et «kvadrupolpotensial». Dette kan regnes ut fra dipolpotensialet på samme måte som at dette kan regnes ut fra Coulomb-potensialet for to motsatte ladninger som ligger nær hverandre.