Redigerer Den generelle relativitetsteorien (avsnitt)

===Christoffel-symbol===

Mens den globale metrikken ''g<sub>&mu;&nu;</sub>'' avhenger av de førstederiverte av ''x'&thinsp;''-koordinatene, involverer  Christoffel-symbolene de andrederiverte av de samme koordinatene. De eksisterer derfor en mulighet for å uttrykke disse ved de førstederiverte av metrikken.  Disse følger fra definisjonen av denne og blir

: <math> {\partial g_{\mu\nu}\over\partial x^\sigma} = \eta_{\alpha\beta} {\partial^2 x'^\alpha\over\partial x^\mu\partial x^\sigma}{\partial x'^\beta\over\partial x^\nu} +  \eta_{\alpha\beta}{\partial x'^\alpha\over\partial x^\mu}{\partial^2 x'^\beta\over\partial x^\nu\partial x^\sigma} </math>

Her kan man uttrykke de andrederiverte ved Christoffel-symbolene slik at man får

: <math> {\partial g_{\mu\nu}\over\partial x^\sigma} = \eta_{\alpha\beta}\Gamma^\rho_{\;\mu\sigma}{\partial x'^\alpha\over\partial x^\rho}{\partial x'^\beta\over\partial x^\nu} +  \eta_{\alpha\beta}\Gamma^\rho_{\;\nu\sigma}{\partial x'^\alpha\over\partial x^\mu}{\partial x'^\beta\over\partial x^\rho} = g_{\rho\nu}\Gamma^\rho_{\;\mu\sigma} + g_{\rho\mu}\Gamma^\rho_{\;\nu\sigma} </math>

Ved å benytte at både den metriske tensoren og Christoffel-symbolene er symmetriske i sine to indekser, leder dette uttrykket til resultatet

: <math> g_{\sigma\rho}\Gamma^\rho_{\;\mu\nu} = {1\over 2}\left[{\partial g_{\sigma\nu}\over\partial x^\mu} +  {\partial g_{\sigma\mu}\over\partial x^\nu} - {\partial g_{\mu\nu}\over\partial x^\sigma}\right]</math>

som kalles for [[Tensor#Tensoranalyse|Christoffel-symbol av første sort]] og skrives som &Gamma;''<sub>&sigma;&mu;&nu;</sub>''. Det er symmetrisk i de to siste indeksene.<ref name = MTW/>

Man kan skrive det første Christoffel-symbolet &Gamma;''<sup>&sigma;</sup><sub>&mu;&nu;</sub>'' ved å innføre de inverse (eller kontravariante) komponentene ''g<sup>&mu;&nu;</sup>'' til den metriske tensoren ved å betrakte de kovariante komponentene ''g<sub>&mu;&nu;</sub>'' som elementene i en  4&times;4 [[matrise]]. Den inverse matrisen har da komponenter som vil oppfylle kravet

: <math> g_{\mu\nu}(x)g^{\nu\lambda}(x) = \delta^\lambda_{\;\mu} </math>

Disse inverse elementene kan formelt finnes fra

: <math> g^{\sigma\rho}(x) = \eta_{\alpha\beta}{\partial x'^\alpha\over\partial x^\mu}{\partial x'^\beta\over\partial x^\nu} </math>
 
da koordinattransformasjonen ''x'&thinsp;'' &rarr; ''x'' er antatt å være reverserbar. Ved å bruke disse kontravariante komponentene av metrikken, kan man da skrive Christoffel-symbolene av andre sort som

: <math> \Gamma^\rho_{\;\mu\nu} = {1\over 2} g^{\rho\sigma}\left[{\partial g_{\sigma\nu}\over\partial x^\mu} +  {\partial g_{\sigma\mu}\over\partial x^\nu} - {\partial g_{\mu\nu}\over\partial x^\sigma}\right] </math>

Når den metriske tensoren for tidrommet er kjent, kan dermed disse symbolene finnes ved direkte derivasjon. Man behøver også de kontravariante komponentene til metrikken, noe som krever å invertere en matrise. For mer kompliserte metrikker kan denne beregningen bli ganske omstendelig. Enklere kan de finnes direkte fra utledningen av den geodetiske ligningen fra et kovariant [[variasjonsregning|variasjonsprinsipp]].<ref name = Carroll/>