Redigerer Bohrs atommodell (avsnitt)

==Bohr-Sommerfeld-kvantisering==

Den klassiske bevegelsen til elektronet rundt atomkjernen er matematisk den samme [[Keplers lover for planetenes bevegelser|Kepler-bevegelse]] som for en planet rundt Solen. I den sammenhengen er de fleste banene elliptiske. Det samme burde derfor være tilfelle for elektronet. Tidlig [[1916]] publiserte den tyske fysiker [[Arnold Sommerfeld]] et arbeid hvor han viste hvordan denne mer generelle bevegelsen kunne kvantiseres.<ref> A. Sommerfeld, ''Zur Quantentheorie der Spektrallinien'', Annalen der Physik '''51''', 1-94 (1916).</ref> Dette var basert på [[Lagrangemekanikk|Lagrange-mekanikk]] hvor hver koordinat ''q<sub>i</sub>'' for en partikkel har en tilsvarende, kanonisk konjugert impuls ''p<sub>i</sub>''. For en periodisk bevegelse skal da integralet

:<math> \oint\! dq_i\,p_i   = n_i h </math>

hvor ''n<sub>i</sub>'' er heltallige [[kvantetall]]. Da elektronet beveger seg i tre dimensjoner rundt atomkjernen, trenges det derfor i alt tre kvantetall for å spesifisere nøyaktig en lukket bane. Disse tre kvantebevegelsene vil da gi energien, formen og orienteringen i rommet til hver slik ellipsebane. Denne mer generelle metoden er siden blitt omtalt som [[Bohr-Sommerfeld-kvantisering]].

En enkel illustrasjon av denne nye kvantiseringen finnes ved å betrakte en sirkulær bane i den opprinnelige Bohr-modellen. Kalles rotasjonsvinkelen for ''&phi;'', er vinkelfrekvensen {{nowrap|''&omega; {{=}} d&phi;/dt''}} og dreieimpulsen {{nowrap|'' p<sub>&phi;</sub> {{=}} mr<sup>&thinsp;2</sup>&omega; {{=}} L''}} er en bevegelseskonstant. Kvantisering av denne impulsen gir da

:<math> \oint\! d\phi\,p_\phi   = L\oint\! d\phi = 2\pi L = nh </math>

da vinkelen ''&phi;'' øker fra ''0'' til ''2&pi;&thinsp;'' under en periodisk rundgang. Så dette gir {{nowrap|''L {{=}} nh/2&pi;''}} i overensstemmelse med Bohrs opprinnelige antagelse.

En elliptisk bane er med denne mer generelle kvantiseringen gitt ved et '''hovedkvantetall''' {{nowrap|''n'' {{=}} 1,2,3,4...}} som angir de kvantiserte energinivåene på samme måte som i den opprinnelige modellen til Bohr. I tillegg kommer så et '''asimutalt kvantetall''' {{nowrap|''k'' {{=}} 1,2,3,...,''n''}} som avhenger av den totale dreieimpulsen til elektronet. Det angir også [[ellipse]]banens form idet forholdet mellom dens hovedakser er {{nowrap|''b/a {{=}} k/n''}}. Sirkulære baner har ''k = n'', og de mest eksentriske har {{nowrap|''k'' {{=}} 1}}. Til slutt kommer det '''magnetiske kvantetallet''' ''m'' som tar positive og negative, heltallige verdier |''m''&thinsp;| &le; ''k''. Det angir ellipsens orientering i rommet, for eksempel i forhold til et ytre [[magnetisk felt|magnetfelt]] som atomet kunne befinne seg i.

Det er bemerkelsesverdig at de samme tre kvantetallene oppstår ved løsninger av [[Schrödinger-ligning]]en som beskriver de bundne banene eller [[orbital]]ene til H-atomet i [[kvantemekanikk]]en. Den  eneste forskjellen er at det da viste seg hensiktsmessig å benytte seg av {{nowrap|ℓ {{=}} ''k'' - 1 {{=}} 0,1,2, ... ,''n'' - 1}} som det asimutale kvantetallet.

===Finstruktur i hydrogenatomet===

Når elektronet i [[hydrogenatom]]et går i en ellipsebane, vil det ikke lenger ha konstant hastighet ''v''. Nærme atomkjernen går det raskere enn ellers slik at man må benytte [[spesiell relativitetsteori|relativistisk mekanikk]] for å beskrive bevegelsen nøyaktig. Korreksjonene for {{nowrap|''n'' {{=}} 1}} vil være av størrelsesorden {{nowrap|''v''<sup>2</sup>/''c''<sup>2</sup> {{=}} (''Z&alpha;'')<sup>2</sup>}}. I ionet He<sup>+</sup> vil de være fire ganger mer fremtredende enn i H-atomet.

En slik relativistisk korreksjon til spektrene ble først diskutert av Bohr i [[1915]].<ref> N. Bohr, ''On the Series Spectrum of Hydrogen and the Structure of the Atom'', Philosophical Magazine '''29''', 332-335 (1915).</ref> Han foreslo her at effekten kanskje også kunne forklare hvorfor de mest fremtredende linjene i Balmer-serien så ut til å være doble. En slik dublettstruktur hadde blitt observert av [[Albert Abraham Michelson|Albert Michelson]] og [[Edward Morley]] allerede i [[1887]] i linjen H<sub>&alpha;</sub>.<ref>A. A. Michelson and E. W. Morley, Philosophical Magazine '''24''', 46 (1887).</ref> Ifølge Bohrs atommodell skyldes den overgangen {{nowrap|''n'' {{=}} 3 &rarr; 2}} som har en bølgelengde {{nowrap|''&lambda;'' {{=}} 6563&thinsp;Å}}. De fant at denne spektrallinjen består av to komponenter med en forskjell i bølgelengden på  {{nowrap|''&Delta;&lambda;'' {{=}} 0.14&thinsp;Å}}.

Med sin mer generelle kvantisering kunne Sommerfeld allerede i [[1916]] beregne denne såkalte [[finstruktur]]en i spekteret for H-atomet.<ref name = S2> A. Sommerfeld, ''Zur Quantentheorie der Spektrallinien'', Annalen der Physik '''51''', 125-167 (1916).</ref> En ellipsebane karakterisert ved de to kvantetallene ''(n,k)'' får en korreksjon til energien gitt ved formelen

: <math> \Delta E_{n,k} = E_n {Z^2\alpha^2\over n^2}\left({n\over k} - {3\over 4}\right) </math>

Forskjellen i energi mellom sirkelbanen og ellipsebanen som utgjør energinivået ''n'' = 2 i H-atomet, blir dermed {{nowrap|&Delta;''E<sub>H</sub>'' {{=}} &Delta;''E''<sub>2,2</sub> - &Delta;''E''<sub>2,1</sub> {{=}} ''&alpha;''<sup>2</sup>Ry/16}}. Numerisk tilsvarer dette nøyaktig den observerte forskjellen mellom de to bølgelengdene som inngår i spektrallinjen H<sub>&alpha;</sub>. En tilsvarende oppsplitting av spektrallinjene fra He<sup>+</sup> ble observert av [[Friedrich Paschen]].

Formelen for [[finstruktur]]en som Sommerfeld fant, viste seg knapt ti år senere å være i overensstemmelse med den mer moderne [[kvantemekanikk]]en når det asimutale kvantetallet ''k'' erstattes med ''j'' + 1/2 hvor ''j'' er den totale dreieimpulsen til elektronet, inkludert [[spinn]].

===Røntgen-dubletter===

Målingene til Moseley i [[1914]] hadde også vist antydninger til at K<sub>&alpha;</sub> - linjen kunne være en dublett. Dette ble bekreftet året etterpå av Ivar Malmer som var en doktorgradsstudent i gruppen til [[Manne Siegbahn]] ved [[Universitetet i Lund]]. Denne splittingen økte raskt med atomnummeret ''Z''. Disse resultatene ble publisert i [[1916]].<ref> M. Siegbahn, ''Bericht über die Röntgenspektren der chemischen Elemente'', Jahrbuch der Radioaktivität und Elektronik '''13''', 296-341 (1916).</ref> 

Med bruk av Kossels teori for den karakteristiske røntgenstrålingen, kunne Sommerfeld nå forklare dette ved å anta at L-ringen kunne være enten en ellipse eller en sirkel på samme måte som for de to banene med ''n'' = 2 i H-atomet.<ref name = S2 /> Den eneste forskjellen ville være at energidifferensen mellom disse to banene nå ville involvere et ladningstall ''Z'' > 1. De svenske dataene kom fra 22 forskjellige grunnstoff fra Cr til U. Ved å bruke et effektivt ladningstall {{nowrap|''Z'' - 3,5}}, fant han at disse resultatene for splittingene ''&Delta;&nu;''<sub>K</sub> i røntgenstrålingen K<sub>&alpha;</sub> kunne sammenfattes i den enkle formelen 

: <math> \Delta\nu_K = (Z - 3,\!5)^4 \Delta\nu_H </math>

hvor  ''&Delta;&nu;''<sub>H</sub> er den tilsvarende splittingen i den optiske dubletten H<sub>&alpha;</sub> i H-atomet. Konstanten 3,5 kunne forklares som en avskjerming av den fulle kjerneladningen ''Ze'' som skyldes elektronene innenfor L-ringen. For et element med atomnummer rundt ''Z'' = 35, blir altså den lille [[finstruktur]]korreksjonen i hydrogen forstørret med en faktor som er omtrent en million. Denne beregningen til Sommerfeld bidro til at overbevisningen om eksistensen av elliptiske baner i atomene ble styrket.

===Fra elektronringer til elektronskall===
[[Fil:Stylised atom with three Bohr model orbits and stylised nucleus.svg|thumb|upright=0.9|Et Li-atom beskrevet ved Bohr-Sommerfeld-kvantisering består av en kjerne omkranset av tre elektroner i ellipsebaner.]]
Sommerfelds forklaring av finstrukturen både i det optiske spekteret for hydrogenlignende atomer og røntgenspekteret for tyngre atomer, var så overbevisende at eksistensen av ellipsebaner i Bohrs atommodell ikke var til å komme utenom. Men samtidig skapte denne utvidelsen av modellen nye problemer. Kunne det for eksempel være flere elektroner på en og samme ellipse? Hvis hvert elektron beveget seg på sin egen ellipse eller sirkel, kunne ikke disse lenger ligge i samme plan da de i så fall ville kollidere. Og hvis ellipsene var plassert symmetrisk i tre dimensjoner rundt atomkjernen, hvordan kunne disse banene være mekanisk stabile under påvirking av de elektriske kreftene fra de andre elektronene?

En ring med hovedkvantetall ''n'' inneholdende et visst antall elektroner måtte uansett bli erstattet med en familie med ellipser med forskjellige verdier for det asimutale kvantetallet ''k'' og plassert på en eller annen måte rundt atomkjernen. Denne samlingen av ellipser ble snart kalt for et [[elektronskall]]. For hver verdi av hovedkvantetallet ''n'' skulle det finnes et tilsvarende skall med elektroner. Men på tross av denne utvidelsen av modellen, var det nå enda mer vanskelig å beregne energiene for elektronene i disse mer generelle banene. Til og med for He-atomet med kun to elektroner, lot det seg ikke gjøre på en overbevisende måte. Det ble først mulig med etableringen av moderne [[kvantemekanikk]] i [[1925]].