Redigerer Trekant (avsnitt)

==Arealet av en trekant==
[[Areal]]et ''A'' av en trekant kan beregnes på en rekke forskjellige måter. En vanlig framgangsmåte er å bruke arealsetningen, den geometriske formelen

:<math>A = \frac{1}{2}gh, </math>

der ''g'' er lengden av grunnlinjen, og ''h'' er høyden.  Dette uttrykkes ofte som at arealet av en trekant er lik halve grunnlinjen ganger høyden.   

Arealet er altså halve arealet av [[parallellogram]]met man får om man kopierer trekanten, og speiler kopien om en av de to sidene som ikke er grunnlinjen.

Et ''kongruent tall'' er et tall som kan opptre som arealet i en rettvinklet trekant, når alle sidelengdene er [[rasjonalt tall|rasjonale tall]].  I en trekant med sidelengder 3, 4 og 5 er arealet lik 6, slik at 6 er et kongruent tall.  De første kongruente tallene er 5, 6, 7, 13, 14, 15, 20 og 21.<ref name=FN1/>

=== Vektorform ===
Dersom [[Vektor (matematikk)|vektorene]] ''AC'' og ''AB'' definerer en trekant, så er arealet lik halvparten av [[kryssprodukt]]et mellom vektorene:

:<math>A = \frac{1}{2}|AB \times AC|</math>.

=== Koordinatform ===
I [[analytisk geometri]] kan en beskrive en trekant ved hjelp av [[koordinatsystem|koordinater]] til hjørnene.  Dersom et hjørne av trekanten er i [[origo]] ''O'' = (0,&nbsp;0), og de to andre hjørnene er i punktene  ''P''<sub>1</sub> = (''x''<sub>1</sub>, ''y''<sub>1</sub>) og ''P''<sub>2</sub> = (''x''<sub>2</sub>, ''y''<sub>2</sub>), så  
er arealet av trekanten ''OP''<sub>1</sub>''P''<sub>2</sub> gitt ved [[determinant]]en

:<math>
A = \frac{1}{2} \det \begin{pmatrix}x_1 & x_2 \\ y_1 & y_2 \end{pmatrix}  = \frac{1}{2}\big(x_1y_2 - x_2y_1 \big) 
</math>

Fortegnet avhenger av om hjørnene er plassert med eller mot klokkeretningen.

For en trekant med tre vilkårlig plasserte hjørner ''A,B'' og ''C'' kan en bruke at dens areal er gitt ved summen av arealene til de tre trekantene ''OAB'', ''OBC'' og ''OCA''. Fra den forrige formelen følger det da at

: <math> A =  \frac{1}{2} \big(  x_A y_B - x_B y_A + x_B y_C - x_C y_B + x_C y_A - x_A y_C \big) </math>

Dette kan igjen skrives mer kompakt som en determinant,
:<math>
\begin{alignat}{2}
A 
&= \frac{1}{2} \det\begin{pmatrix}x_A & x_B & x_C \\ y_A & y_B & y_C \\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix}  \\
&= \frac{1}{2} (x_A - x_C) (y_B - y_A) -  \frac{1}{2} (x_A - x_B) (y_C - y_A).
\end{alignat}
</math>

=== Herons formel ===
Formen til en trekant er bestemt entydig ut fra lengden av sidene.  Arealet kan derfor bestemmes ut fra sidelengdene alene, ved den såkalte [[Herons formel]]:<ref name=UIA2/>

:<math>A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}</math>

I formelen er ''s'' er semiperimeteren, altså den halve omkretsen.  De følgende formene er alternative versjoner av Herons formel:

:<math>
\begin{alignat}{2}
A &= \frac{1}{4} \sqrt{(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)}  \\
&= \frac{1}{4} \sqrt{2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)} \\
&= \frac{1}{4} \sqrt{(a+b-c) (a-b+c) (-a+b+c) (a+b+c)}.
\end{alignat}
</math>

=== Trigonometrisk form ===
Når to sidelengder og vinkelen mellom dem er kjent, så er arealet gitt ved

:<math>A = \frac{1}{2}ab\sin \gamma = \frac{1}{2}bc\sin \alpha = \frac{1}{2}ca\sin \beta</math>

Formelen framkommer ved å uttrykke hver av høydene i trekanten ved hjelp av en side og sinus til en vinkel.   

Da sin α = sin (''π'' − α) = sin (β + γ), og tilsvarende for de to andre vinklene, så gjelder også at 

:<math>A = \frac{1}{2}ab\sin (\alpha+\beta) = \frac{1}{2}bc\sin (\beta+\gamma) = \frac{1}{2}ca\sin (\gamma+\alpha).</math>

Kjenner en to av vinklene og én av sidelengdene, så kan en bruke formelen

:<math>A = \frac {b^{2}(\sin \alpha)(\sin (\alpha + \beta))}{2\sin \beta}. </math>