Redigerer Spredningstverrsnitt (avsnitt)

===Eikonalapproksimasjon===

I store avstander fra sprederen beskrevet ved potensialet ''V''('''r''') må bølgefunksjonen til den spredte partiklen oppfylle ligningen

: <math>  \psi(\mathbf{r})  = e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}  -  {m\over 2\pi \hbar^2}{e^{ikr}\over r} \int \! d^3 r'  e^{-i\mathbf{k'}\cdot\mathbf{r'}}\, V(\mathbf{r'})\psi(\mathbf{r'}) </math>

Det siste leddet her gir direkte spredningsamplituden i laveste Born-approksimasjon når man setter {{nowrap|''&psi;''('''r''') {{=}} ''e''<sup>&thinsp;''i''&thinsp;'''k'''&sdot;'''r'''</sup>}} i integralet på høyre side. Et mer nøyaktiig resultat kan finnes ved  å benytte [[Eikonalapproksimasjon#Kvantemekanisk partikkelspredning|eikonalapproksimasjon]]en som brukes  i optikken og er basert på en tilsvarende Helmholtz-ligning ved korte bølgelengder og småvinkel avbøyning. Denne tilnærmelsen gir det mer presise uttrykket

: <math>  \psi(\mathbf{r}) = \exp{\Big[i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - {i\over\hbar v} \int_{-\infty}^z \! dz' V(x,y,z')\Big] } </math>

for den spredte bølgen hvor ''v'' = ''p''/''m'' er hastigheten til partikkelen. Denne modifikasjonen av den plane bølgen involverer [[Plancks konstant]] ''ħ'' og er derfor en kvantekorreksjon som kan føres tilbake til [[WKB-approksimasjon]]en i atomfysikken.<ref name = Newton> R.G. Newton, ''Scattering Theory of Waves and Particles'', Springer-Verlag, New York (1982). </ref>

Uttrykket for spredningsamplituden tar nå formen

: <math> f(\theta) =  - {m\over 2\pi \hbar^2} \int\! d^2b\int_{-\infty}^\infty\! dz\, e^{i\mathbf{Q}\cdot\mathbf{r}} \,V(\mathbf{b},z)  \exp{\Big[- {i\over\hbar v} \int_{-\infty}^z \! dz' V(\mathbf{b},z')\Big] } </math>

etter oppsplittelsen '''r''' = ('''b''',''z'') og innføring av '''Q''' = '''k''' - '''k'&thinsp;'''. Det gjenstående integralet  kan bli ytterligere forenklet ved å benytte først at '''Q'''&sdot;'''r''' = '''Q'''&sdot;'''b''' for små spredningsvinkler. I tillegg kan de to siste faktorene i integralet kombineres til den deriverte av en [[eksponensialfunksjon]] slik at integrasjonen over ''z'' kan utføres. Dermed tar spredningsamplituden formen

: <math> f(\theta)  =  {ik\over 2\pi}  \int d^2b\, e^{i\mathbf{Q}\cdot\mathbf{b}}  \big[1 - e^{2i\delta(b)}\big] </math>,

men med det eksplisitte resultatet 

: <math> 2\delta(b) = - {1\over\hbar v} \int_{-\infty}^\infty \! dz\, V(\mathbf{b},z) </math>

for den generaliserte faseforskyvningen. For et gitt spredningspotensial kan denne derfor bestemmes ved en enkel integrasjon. Skulle potensialet ta komplekse verdier, vil dette bety absorpsjon av de innkommende partiklene og bety at funksjonen ''&delta;''(''b'') også ville ta komplekse verdier.<ref> J.J. Sakurai, ''Modern Quantum Mechanics'', Benjamin/Cummings Publishing Co, Menlo Park (1985). ISBN 0-8053-7501-5.</ref>