Redigerer Plancks strålingslov (avsnitt)

===Klassisk harmonisk oscillator===

Allerede i [[1907]] bidro Einstein med en [[kvanteteori|kvanteteoretisk]] forklaring av egenskapene til materialet i veggene som omsluttet strålingen.<ref>A. Einstein, ''Die Planckshe Theorie der Strahlung und die Theorie der spezifischen Wärme'', Annalen der Physik, '''22''', 180-190 (1907). [http://www.physik.uni-augsburg.de/annalen/history/einstein-papers/1907_22_180-190.pdf PDF]</ref> Til da hadde man ikke hatt noen god forståelse av [[atom]]ene som materialet var ment å bestå av. I stedet omtalte man dem som ''resonatorer'',  og Planck hadde antatt at de var vanlige, [[harmonisk oscillator|harmoniske oscillatorer]]. Har en slik oscillator massen ''m'' og en kraftkonstant ''k'', så vil dens energi være gitt som {{nowrap|''E'' {{=}} ''p''<sup>2</sup>/2''m'' + ''kq''<sup>2</sup>/2}}. Den varierer kontinuerlig med utslaget ''q'' og [[impuls]]en ''p'' og svinger med [[vinkelfrekvens]]en {{nowrap|''&omega;'' {{=}} &radic;(''k''/''m'')}}. Fra [[statistisk fysikk]] er sannsynligheten for at oscillatoren har energien ''E'' ved en temperatur ''T'' proporsjonal med [[Boltzmann-fordeling|Boltzmanns faktor]] exp(''-&beta;E'') hvor ''&beta;'' = 1/''k<sub>B</sub>T''. Den midlere energien er derfor

: <math>  \langle E_\nu\rangle = E (\nu,T) = {1\over Z}\int_{-\infty}^\infty\! dqdp\, E e^{-\beta E} </math>

Her inngår normeringsfaktoren

: <math>  Z = \int_{-\infty}^\infty\! dqdp\, e^{-\beta E} </math>

som ofte kalles for ''partisjonsfunksjonen''. Er den regnet ut, kan den midlere energien beregnes mye enklere som {{nowrap|''<E<sub>&nu;</sub>>'' {{=}} - &part;&thinsp;log&thinsp;''Z''/&part;''&beta;''}}. Denne relasjonen gjelder helt generelt og spiller en sentral rolle i statistisk fysikk.

Når oscillatoren beskrives klassisk, er den beskrevet ved kontinuerlige variable. Både integralet over ''p'' og over ''q'' i uttrykket for ''Z'' er gitt ved det vanlige [[Gauss-integral]]et &thinsp;&int;''dx''&thinsp;exp(''-x''<sup>2</sup>) = &radic;''&pi;&thinsp;'' når integrasjonsgrensene er &plusmn;&infin; som i dette tilfellet. Dette gir at {{nowrap|''Z'' {{=}} 2''&pi;''&thinsp;/''&beta;&omega;''}} og derfor den midlere oscillatorenergien {{nowrap|''<E<sub>&nu;</sub>>'' {{=}} ''k<sub>B</sub>T''}}. Innsatt i Plancks likevektsformel, kom Einstein på denne måten frem til [[Rayleigh-Jeans' strålingslov]].

Partisjonsfunksjonen ''Z'' kan også regnes ut på en annen måte som Einstein gjorde bruk av. Definerer man funksjonen

: <math> \rho(E) =  \int\! dqdp\,\delta(E - p^2/2m - kq^2/2) </math>

hvor ''&delta;''(''x'') er [[Diracs deltafunksjon]], så har man i stedet at {{nowrap|''Z'' {{=}} &int;&thinsp;''dE&thinsp;&rho;''(''E'')&thinsp;exp(-''&beta;E'')}}. For oscillatoren finner man {{nowrap|''&rho;'' {{=}} 2''&pi;''&thinsp;/''&omega;''}} som igjen gir {{nowrap|''Z'' {{=}} 2''&pi;''&thinsp;/''&beta;&omega;''}}.