Redigerer Logaritme (avsnitt)

== Logaritmer med komplekse argument ==
Logaritmefunksjonen kan utvides til å være definert for komplekse verdier av argumentet ''z'', gjennom definisjonen
:<math>\log z  = \ln|z| + i\arg(z) \, </math>

Her er ''z'' er komplekst tall, og logaritmen er også et komplekst tall.  Funksjonen <math>\arg</math> er [[komplekst tall#Geometrisk tolkning av komplekse tall|argumentet]] til det komplekse tallet, og ''i'' er den [[imaginær enhet|imaginære enheten]].

For komplekse argument er logaritmefunksjonen ikke entydig, fordi argumentet kan inneholde et vilkårlig multiplum av <math>2 \pi</math>.  Skriver en det komplekse tallet på [[komplekse tall#polarform|polarform]]en

:<math>z = |z| e^{i \phi},\, </math>

så kan den komplekse logaritmen skrives som

:<math>\log z  = \ln |z| + i\left(\phi + 2 k \pi \right) \, </math>

Her er ''k'' et vilkårlig heltall.  Den såkalte ''prinsipalverdien'' av logaritmefunksjonen er gitt for ''k'' = 0, når

:<math>\text{Log} z  = \ln|z| + i\operatorname{Arg}(z) = \ln|z| + i \phi  \quad \text{der} \quad  \phi \in (-\pi,\ \pi] \, </math>

For relle positive argument er den komplekse logaritmen lik den naturlige logaritmen.

Den komplekse logaritmen oppfyller første og andre logaritmesetning, men ikke den tredje.