Redigerer Kvantemekanikk (avsnitt)

===Tidsavhengig Schrödinger-ligning===

Hvordan et kvantesystem forandrer seg med tiden, ble først undersøkt av Schrödinger i ett senere arbeid. Det kan ikke da lenger ha en konstant energi og vil i stedet kunne gå fra en stasjonær tilstand til en annen.  På den måten vil en tidsavhengig beskrivelse kunne forklare kvanteoverganger som for eksempel når et atom plutselig sender ut et foton.

I en stasjonær tilstand har systemet en bestemt energi ''E&thinsp;'' og kan beskrives ved en egenfunksjon av den tidsuavhengige ligningen <math>  \hat{H}\psi = E\psi. </math> Denne bølgefunksjonen har samtidig en frekvens ''&omega;'' = ''E''/''ħ'' og vil ha en tidsavhengighet som må være på formen <math> \exp(-i\omega t) .</math> Den stasjonære Schrödinger-ligningen kan derfor skrives på den ekvivalente formen

: <math>  {H}(\hat\mathbf{p},\mathbf{r})\Psi(\mathbf{r},t) = i\hbar {\partial\over\partial t} \Psi(\mathbf{r},t)  </math>

når den tidsavhengig bølgefunksjonen skrives som <math>  \Psi(\mathbf{r},t)  = \psi(\mathbf{r}) e^{-iEt/\hbar} . </math> Denne formen av ligningen er det nå naturlig å benytte for et kvantesystem som er i en vilkårlig tilstand og ikke nødvendigvis i en egentilstand av Hamilton-operatoren. Den kalles derfor for den tidsavhengige Schrödinger-ligningen.<ref name = Griffiths/>

Dens innhold kan illustreres ved å betrakte et system som ved tiden ''t'' = 0 er i en superposisjon av to tilstander. De betegnes som <math> \psi_1(\mathbf{r}) </math> og <math> \psi_2(\mathbf{r}) </math> og begge antas å være egentilstander av Hamilton-operatoren med energier henholdsvis ''E''<sub>1</sub> og ''E''<sub>2</sub>. I utgangspunktet er systemet da i tilstanden

: <math> \Psi(\mathbf{r},t=0) = C_1\psi_1(\mathbf{r}) + C_2 \psi_2(\mathbf{r}) </math>

hvor ''C''<sub>1,2</sub>  er konstanter som bestemmer sannsynlighetene for at systemet er i den første eller andre tilstanden ved tiden ''t'' = 0. Denne superposisjonen er ikke en egentistand av Hamilton-operatoren. Systemets videre utvikling med tiden er likevel gitt som

: <math> \Psi(\mathbf{r},t > 0) = C_1\psi_1(\mathbf{r})e^{-iE_1t/\hbar}  + C_2 \psi_2(\mathbf{r}) e^{-iE_2t/\hbar} </math>

og vises direkte ved derivasjon å oppfylle den tidsavhengige Schrödinger-ligningen. Sannsynligheten for å finne partikkelen i et bestemt punkt vil nå variere med tiden. I dette tilfellet vil det utgjøre en oscillasjon med frekvens (''E''<sub>1</sub> - ''E''<sub>2</sub>)/''ħ'' som oppstår fra produktet mellom de to leddene i funksjonen.

Den tidsavhengige Schrödinger-ligningen har samme form som differensialligningen som definerer [[eksponentialfunksjon]]en. Derfor kan også tidsutviklingen finnes mer direkte fra

:  <math>\begin{align} \Psi(t ) &=  e^{-i\hat{H}t/\hbar}\Psi(0) \\ &= \left[1 +  \left(-{it\over\hbar}\hat{H}\right) + {1\over 2!}\left(-{it\over\hbar}\hat{H}\right)^2 + \cdots \right] \Psi(0) \end{align} </math>

så lenge Hamilton-operatoren er uavhengig av tiden. Det vil ikke være tilfelle hvis for eksempel den inneholder et potensial som varierer med tiden. En slik situasjon har man for et atom som vekselvirker med lys. Da kan tidsutviklingen vanligvis kun beregnes med [[Perturbasjonsteori (kvantemekanikk)#Tidsavhengig perturbasjonsteori|perturbasjonsteori]].

I kvantemekanikken har den tidsavhengige Schrödinger-ligningen en helt sentral betydning. Dens form er uavhengig av om den beskriver én eller mange partikler, om disse er ikke-relativistiske eller relativistiske eller om Hamilton-operatoren er eksplisitt tidsavhengig eller ikke. Uansett system har den alltid den samme form

: <math> i\hbar{\partial\over\partial t} \Psi(t) = \hat{H} \Psi(t) </math>

hvor de detaljerte egenskapene til systemet opptrer i Hamilton-operatoren <math> \hat{H} .</math> Denne generelle gyldighet holder ikke bare for systemer bestående av partikler, men også for [[kvanteelektrodynamikk]] og andre  [[kvantefeltteori]]er.<ref name = Weinberg/>