Redigerer Harmonisk oscillator (avsnitt)

==Koblete oscillatorer==
[[Fil:Coupled Harmonic Oscillator.svg|300px|right|To masser koblet sammen med elastiske fjærer kan oscillere med to forskjellige frekvenser.]]
I mange sammenhenger vil en oscillator være koblet tll andre slik. Deres svingninger er derfor ikke lenger frie, men vil være påvirket av hverandre. Det enkleste eksemplet er to masser som kan bevege seg langs ''x''-aksen og er forbundet med en fjær. Samtidig er hver av dem er koblet via to andre fjærer til hvert sitt faste punkt som vist i figuren. Her kan det antas at alle massene og fjærkonstantene er like store.

Hvis man kaller utslaget fra likevektsstillingen til den første massen for ''x''<sub>1</sub>(''t''&thinsp;) og utslaget til den andre for ''x''<sub>2</sub>(''t''&thinsp;), så blir forlengelsene til de tre fjærene henheoldsvis ''x''<sub>1</sub>, {{nowrap|''x''<sub>2</sub> - ''x''<sub>1</sub>}} og - ''x''<sub>2</sub>. De to massene vil derfor oppfylle bevegelsesligningene

: <math>\begin{align} m\ddot{x}_1 &= -kx_1 + k(x_2 - x_1) \\
                m\ddot{x}_2 &= -kx_2 - k(x_2 - x_1) \end{align}
</math>

De kan enkelt løses ved å legge dem sammen eller trekke dem fra hverandre. Da finner man de to ekvivalente ligningene

: <math>\begin{align} m(\ddot{x}_1 + \ddot{x}_2) &= -k(x_1 + x_2) \\
                m(\ddot{x}_1 - \ddot{x}_2) &= -3 k(x_1 - x_2) \end{align}
</math>

Hver av dem representerer en harmonisk oscillasjon, men med forskjellige frekvenser. Setter man {{nowrap|''u''<sub>1</sub> {{=}} (''x''<sub>1</sub> + ''x''<sub>2</sub>)/&radic;2}}&thinsp; og {{nowrap|''u''<sub>2</sub> {{=}} (''x''<sub>1</sub> - ''x''<sub>2</sub>)/&radic;2}}, har man med en gang løsningene

: <math>\begin{align}  u_1(t) &= A_1\cos(\omega_1t - \phi_1),\;\;\; \omega_1 = \sqrt{k\over m} \\
                 u_2(t) &= A_2\cos(\omega_2t - \phi_2),\;\;\; \omega_2 = \sqrt{3k\over m} \end{align}
</math>

De representerer hver en harmonisk svingning med en bestemt frekvens som er en '''egenfrekvens''' for systemet. Disse speseielle løsningene  omtales derfor som '''egenmoder''' eller '''normalmoder'''.

De generelle løsningene for de to utslagene kan nå skrives som

: <math>\begin{align} x_1(t) &= \sqrt{1\over 2}\big(u_1 + u_2\big) = \sqrt{1\over 2}\big(A_1\cos(\omega_1t - \phi_1) + A_2\cos(\omega_2t - \phi_2)\big) \\
         x_2(t) &= \sqrt{1\over 2}\Big(u_1 - u_2\Big) = \sqrt{1\over 2}\Big(A_1\cos(\omega_1t - \phi_1) - A_2\cos(\omega_2t - \phi_2)\Big) \end{align}
</math>

og er lineærkombinasjoner av normalmodene. Man kan eksitere systemet ved tiden ''t'' = 0&thinsp; i den første moden med frekvens ''&omega;''<sub>1</sub>&thinsp; ved å trekke begge massene like mye ut til siden. Da vil {{nowrap|''A''<sub>2</sub> {{=}} 0}}. Ved alle senere tidspunkt vil da {{nowrap|''x''<sub>1</sub>(''t''&thinsp;) {{=}} ''x''<sub>2</sub>(''t''&thinsp;)}}. Begge masse svinger da synkront til den ene siden, så synkront sammen til den andre siden og deretter slik frem og tilbake. Denne moden sies å være «symmetrisk». Den andre moden med frekvens ''&omega;''<sub>2</sub>&thinsp; kan eksiteres ved å trekke de to massene ut til motsatte sider ved ''t'' = 0&thinsp; slik at {{nowrap|''A''<sub>1</sub> {{=}} 0}}. De vil deretter fortsette å svinge med motsatte utslag slik at man alltid har {{nowrap|''x''<sub>1</sub>(''t''&thinsp;) {{=}} -''x''<sub>2</sub>(''t''&thinsp;)}}. Detter da en «antisymmetrisk mode».

===Egenmoder fra matriser===

Beregning av egenmoder for flere koblete oscillatorer gjøres mest systematisk ved bruk av [[matrise]]r. En egensvingning er karakterisert ved at massene svinger med samme frekvens og fase. Med to masser antar man da at begge svinger som

: <math> x_i(t) = a_i\cos(\omega t - \phi) </math>

hvor  ''i'' = 1,2 og  ''a<sub>i&thinsp;</sub>''&thinsp; er foreløbig to ukjente konstanter. Settes dette inn i de to bevegelsesligningene, får man ligningsettet

: <math>\begin{align} -\omega^2 a_1 &= -2\omega_0^2a_1 + \omega_0^2a_2 \\
       -\omega^2 a_2 &=  - 2\omega_0^2a_2  + \omega_0^2a_1 \end{align}
</math>

etter å ha kansellert den felles cosinus-faktor og innført ''&omega;''<sub>0</sub> = &radic;(''k/m''). Dette kan skrives på matriseformen

: <math> M\mathbf{a} = \omega^2\mathbf{a} </math>

ved å definere vektoren '''a''' = (''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>) og matrisen

: <math>M = \omega_0^2\begin{bmatrix}  2 & -1 \\  - 1 & 2 \end{bmatrix} </math>

[[Fil:Coupled oscillators.gif|frame|right|De to pendlene er festet til en elastisk streng slik at de utfører koblete oscillasjoner.]]
Denne er symmetrisk og vil derfor ha to reelle [[egenvektor|egenverdier]] som er de mulige egenfrekvensene. Verdiene finnes fra betingelsen

: <math> \det(M - \omega^2I) = 0 </math>

hvor ''I'' er 2&thinsp;&times;&thinsp;2 [[matrise|enhetsmatrisen]]. Skrevet ut, blir denne egenverdiligningen

: <math> (2\omega_0^2 - \omega)^2 - \omega_0^4 = 0 </math>

hvis løsninger er gitt ved ''&omega;''<sup>2</sup> = 2''&omega;''<sub>0</sub><sup>2</sup> &plusmn; ''&omega;''<sub>0</sub><sup>2</sup>. Det gir de samme frekvensene ''&omega;''<sub>1</sub> og ''&omega;''<sub>2</sub> som funnet tidligere.

Etter å ha funnet egenfrekvensene kan man så beregne amplitudene ''a''<sub>1</sub>&thinsp; og ''a''<sub>2</sub>&thinsp; som inngår i vektoren '''a'''. For løsningen {{nowrap|''&omega;''<sub>1</sub> {{=}} ''&omega;''<sub>0</sub>&thinsp;}} blir {{nowrap|''a''<sub>1</sub>/''a''<sub>2</sub> {{=}} 1}}, mens for løsningen {{nowrap|''&omega;''<sub>2</sub> {{=}} &radic;3&thinsp;''&omega;''<sub>0</sub>&thinsp;}} blir {{nowrap|''a''<sub>1</sub>/''a''<sub>2</sub> {{=}} -1}}. Det er hensiktsmessig å la disse to egenmodene være beskrevet ved [[vektor (matematikk)|enhetsvektorer]] slik at de dermed er

: <math> \mathbf{a}_1 = \sqrt{1\over 2}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \;\;\; \mathbf{a}_2 = \sqrt{1\over 2}\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}</math>

Disse to vektorene står [[vinkelrett]]e på hverandre da {{nowrap|'''a'''<sub>1</sub>&sdot;'''a'''<sub>2</sub> {{=}} 0.}} Det er typisk for [[egenvektor]]er som tilhører forskjellige egenverdier.

Den generelle svingetilstanden for disse to massene er nå en lineærkombinasjon av disse to løsningene multipliert med vilkårlige konstanter ''A''<sub>1</sub>&thinsp; og ''A''<sub>2</sub>. På den måten kan man skrive den som

: <math>\begin{align} \mathbf{x}(t) &= A_1\mathbf{a}_1\cos(\omega_1t - \phi_1)  + A_2\mathbf{a}_2\cos(\omega_2t - \phi_2) \\ 
        &= u_1(t) \mathbf{a}_1 +  u_2(t) \mathbf{a}_2 \end{align}</math>

hvor ''u''<sub>1</sub>&thinsp; og ''u''<sub>2</sub>&thinsp; er de tidligere funne egenmodene. Denne formen til den generelle løsningen kan tas over til å gjelde for et vilkårlig antall koblete oscillatorer.

===Tre koblete oscillatorer===

Når tre like store masser er koblet sammen med fjærer på samme måte, blir bevegelsesligningene

: <math>\begin{align} \ddot{x}_1 &= - 2\omega_0^2x_1  + \omega_0^2x_2\\
                \ddot{x}_2 &= - 2\omega_0^2x_2  + \omega_0^2x_1 +\omega_0^2x_3 \\ 
                \ddot{x}_3 &= - 2\omega_0^2x_3  + \omega_0^2x_2\end{align}
</math>
Egenverdiene blir dermed bestemt av matrisen

: <math>M = \omega_0^2\begin{bmatrix}  2 & -1 & 0 \\  - 1 & 2  & -1\\ 0 & -1 & 2 \end{bmatrix} </math>

som igjen er symmetrisk. Den gir en [[tredjegradsligning]] for egenfrekvensene som i dette tilfellet forholdsvis lett lar seg løse med resultatet

: <math> \omega_1 = \omega_0\sqrt{2 - \sqrt{2}}, \;\; \omega_2 = \omega_0\sqrt{2} , \;\; \omega_3 = \omega_0\sqrt{2  + \sqrt{2}}, </math>

De tilsvarende egenvektorene blir

: <math> \mathbf{a}_1 = {1\over 2}\begin{bmatrix} 1 \\ \sqrt{2} \\ 1 \end{bmatrix}, \;\; \mathbf{a}_2  =  \sqrt{1\over 2} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{bmatrix} , \;\; \mathbf{a}_3 =  {1\over 2}\begin{bmatrix} 1 \\ - \sqrt{2} \\ 1 \end{bmatrix} </math>

når de ortonormeres slik at de tilfredsstiller {{nowrap|'''a'''<sub>i</sub>&sdot;'''a'''<sub>j</sub> {{=}} &delta;<sub>ij</sub>}}&thinsp; uttrykt ved [[Kronecker-delta]]. Den generelle bevegelsen til de tre massene kan nå skrives som

: <math> \mathbf{x}(t) = u_1(t) \mathbf{a}_1 +  u_2(t) \mathbf{a}_2 +  u_3(t) \mathbf{a}_3 </math>

når man innfører de tre uavhengige modefunksjonene ''u''<sub>&thinsp;i</sub>(''t''&thinsp;) = ''A''<sub>&thinsp;i</sub>&thinsp;cos(''&omega;''<sub>&thinsp;i</sub>''t'' - ''&phi;''<sub>&thinsp;i</sub>)&thinsp; hvor konstantene ''A''<sub>1</sub>, ''A''<sub>2</sub> og ''A''<sub>3</sub> er bestemt av grensebetingelsene.

===N koblete oscillatorer===
[[Fil:1D normal modes (280 kB).gif|thumb|320px|Egenmoder for oscillerende massepunkt på en linje.]]
En kjede med ''N''&thinsp; koblete massepunkt hvor de to ytterste massene er koblet til faste punkt, kan tenkes som en del av en lengre kjede hvor utslagene ''x''<sub>0</sub>&thinsp; og ''x''<sub>''N''+1</sub>&thinsp; er lik med null. Et vilkårlig punkt i denne kjeden har da bevegelsesligningen<ref name = Morin>D. Morin,  [http://www.people.fas.harvard.edu/~djmorin/waves/normalmodes.pdf ''Normal modes''], Lectures at Harvard University (2010).</ref>

: <math> \ddot{x}_n = \omega_0^2( - 2x_n + x_{n+1} + x_{n-1}) </math>

For å finne modene må man i dette tilfellet finne egenverdiene til en ''N&times;N'' matrise. Her lar det seg gjøre ved å skrive utslagene i en bestemt mode på den tldligere formen {{nowrap|''x<sub>n</sub>''(''t''&thinsp;) {{=}} ''a<sub>n</sub>''&thinsp;cos(''&omega;t - &phi;'')&thinsp;}} hvor nå  ''a<sub>n</sub>''&thinsp; er ''n''-te komponent av egenvektoren '''a'''. Bevegelsesligningen kan da oppfylles ved å sette  {{nowrap|''a<sub>n</sub>'' {{=}} ''A''&thinsp;sin''Kn''}}&thinsp; hvor ''K''&thinsp; foreløbig er en ubestemt konstant. Det verifiseres ved å sette inn denne antagelsen. Resultatet kan skrives som

: <math> -\omega^2\sin Kn = \omega_0^2\big(-2\sin Kn + \sin K(n+1) + \sin K(n-1)\big) </math>

og kan videre forenkles ved å bruke [[trigonometrisk identitet|den trigonometriske identiteten]] for sinus til en sum av to vinkler. Det gir {{nowrap|''&omega;''<sup>2</sup> {{=}} 2''&omega;''<sub>0</sub><sup>2</sup>(1 - cos&thinsp;''K'')&thinsp;}} slik at

: <math> \omega = 2\omega_0\sin{K\over 2} </math>

Dermed er egenfrekvensene bestemt hvis den ukjente ''K&thinsp;'' kan finnes. Den følger nå fra kravene {{nowrap|''a''<sub>0</sub> {{=}} ''a''<sub>''N''+1</sub> {{=}} 0}} for en endelig kjede med ''N'' koblete massepunkt. Det første kravet er automatisk oppfylt med antagelsen {{nowrap|''a<sub>n</sub>'' {{=}} ''A''&thinsp;sin''Kn''}}, mens det andre kravet gir ''K(N + 1) = m&pi;''&thinsp; hvor heltallet ''m'' = 1, 2, ... ,''N''&thinsp; karakteriserer de forskjellige modene. Som ventet er det derfor  ialt ''N'' egenmoder  hvor hver kan tilordnes en verdi

: <math> K_m = {m\pi\over N + 1} </math>

og tilhørende egenfrekvens

: <math> \omega_m = 2\omega_0\sin\Big({{m\over N + 1}{\pi\over 2}}\Big),  \;\; m = 1,2,\ldots, N.  </math>

For de korteste kjedene med ''N'' = 2 og ''N'' = 3 gir denne enkle formelen de tidligere funne egenfrekvensene. Også komponentene {{nowrap|''a<sub>n</sub>'' {{=}} ''A''&thinsp;sin''Kn''}}&thinsp; til egenvektorene '''a''' kommer ut riktig for disse to tilfellene.<ref name = Morin/> Den mest generelle bevegelse for det ''n''-te massepunktet finnes nå ved å summere over bidragene fra alle modene,

: <math> x_n(t) = \sum_{m=1}^N A_m \sin(K_mn) \cos(\omega_mt - \phi_m) </math>

hvor konstantene ''A<sub>m</sub>''&thinsp; og ''&phi;<sub>m</sub>''&thinsp; bestemmes av grensebetingelsene til de ''N'' massepunktene som utgjør den endelige kjeden.

Tenkes de koblete massepunketene å legge veldig tett, vil kjeden i praksis være en elastisk streng som utfører [[langsgående akse|longitudinale]] svingninger. Den generelle løsningen som her er funnet, representerer da en «stående [[bølge]]» til en [[svingende streng]] som er holdt fast i begge ytterpunktene. Størrelsen ''K'' tilsvarer  «bølgetallet». Hver egenfrekvens vil kunne frembringe en [[tone]] hvis strengen  er en del av et [[musikkinstrument]].